Номер 7, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 7

Обратная функция

1. Какие из функций являются обратимыми:

1) $y = 4x - 1$;

2) $y = x^2$, $D(y) = [0; +\infty)$;

3) $y = x^2$, $D(y) = [-9; +\infty)$?

2. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 3x + 2$;

2) $y = \sqrt{x + 4} + 2$.

3. С помощью графика функции $f$, изображённого на рисунке 16, постройте график функции $g$, обратной к функции $f$.

Рис. 16

4. Функция $g$ является обратной к функции $f(x) = x^5 + x - 32$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.

1.

Функция является обратимой, если она строго монотонна на всей своей области определения, то есть каждому значению функции соответствует ровно одно значение аргумента.

1) $y = 4x - 1$. Это линейная функция. Её производная $y' = 4 > 0$, следовательно, функция строго возрастает на всей области определения. Значит, функция является обратимой.

2) $y = x^2, D(y) = [0; +\infty)$. Примем, что $D(y)$ — это область определения функции по $x$. На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y=x^2$ строго возрастает. Следовательно, на данной области определения функция является обратимой.

3) $y = x^2, D(y) = [-9; +\infty)$. Примем, что $D(y)$ — это область определения функции по $x$. На промежутке $[-9; +\infty)$ функция не является строго монотонной: она убывает на $[-9, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$. Например, $f(-2) = 4$ и $f(2) = 4$. Так как разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, она не является обратимой на данном промежутке.

Ответ: обратимыми являются функции 1) и 2).

2.

1) Для функции $y = 3x + 2$ найдем обратную. Сначала выразим $x$ через $y$: $3x = y - 2$, откуда $x = \frac{y - 2}{3}$. Затем поменяем переменные местами: $y = \frac{x - 2}{3}$.

Ответ: $y = \frac{x - 2}{3}$.

2) Для функции $y = \sqrt{x + 4} + 2$ найдем обратную. Область определения исходной функции $D(f)$ находится из условия $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$ или $D(f) = [-4; +\infty)$. Область значений $E(f)$ находится из условия $\sqrt{x + 4} \ge 0$, откуда $y \ge 2$, то есть $E(f) = [2; +\infty)$.

Теперь выразим $x$ через $y$. Из $y = \sqrt{x + 4} + 2$ следует $y - 2 = \sqrt{x + 4}$. Возведем обе части в квадрат: $(y - 2)^2 = x + 4$, откуда $x = (y - 2)^2 - 4$. Поменяем переменные местами: $y = (x - 2)^2 - 4$. Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, поэтому $x \ge 2$.

Ответ: $y = (x - 2)^2 - 4$, при $x \ge 2$.

3.

График функции $g$, обратной к функции $f$, симметричен графику функции $f$ относительно прямой $y = x$. На изображенном графике $f$ можно выделить точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$. Для построения графика обратной функции $g$ поменяем координаты этих точек местами: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$. Проведя через новые точки плавную кривую, получим график $g$. Это ветвь параболы $y=x^2$, определённая для $x \ge 0$.

Ответ: График функции $g$ является отражением графика $f$ относительно прямой $y=x$ и представляет собой ветвь параболы $y=x^2$ для $x \ge 0$.

4.

Требуется решить уравнение $f(x) = g(x)$, где $g(x)$ — функция, обратная к $f(x) = x^5 + x - 32$. Графики взаимно обратных функций пересекаются на прямой $y=x$. Поэтому решение уравнения $f(x) = g(x)$ совпадает с решением уравнения $f(x) = x$, при условии, что $f(x)$ является строго монотонной.

Проверим монотонность $f(x)$, найдя её производную: $f'(x) = (x^5 + x - 32)' = 5x^4 + 1$. Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $f'(x) = 5x^4 + 1 \ge 1 > 0$. Производная всегда положительна, значит, функция $f(x)$ строго возрастает. Следовательно, уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = x$.

Решим это уравнение:
$x^5 + x - 32 = x$
$x^5 - 32 = 0$
$x^5 = 32$
$x = \sqrt[5]{32}$
$x = 2$

Ответ: $x = 2$.