Номер 46, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 46

Построение графиков функций

1. Сколько корней имеет уравнение $x^3 - 3x = a$ в зависимости от значения параметра $a$?

2. Постройте график функции $f(x) = \frac{6x}{x^2 + 9}$.

1.

Чтобы определить количество корней уравнения $x^3 - 3x = a$ в зависимости от параметра $a$, исследуем функцию $g(x) = x^3 - 3x$ и определим, сколько раз горизонтальная прямая $y=a$ пересекает ее график.

1. Найдём производную функции:
$g'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

2. Найдём критические точки:
Приравняем производную к нулю: $g'(x) = 0$.
$3(x-1)(x+1) = 0$
Критическими точками являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

3. Определим промежутки возрастания и убывания:
- При $x \in (-\infty, -1)$, $g'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-1, 1)$, $g'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1, \infty)$, $g'(x) > 0$, функция возрастает.

4. Найдём точки экстремума:
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $g(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.
- В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $g(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.

Таким образом, график функции $y = g(x)$ имеет локальный максимум в точке $(-1, 2)$ и локальный минимум в точке $(1, -2)$. Теперь проанализируем количество пересечений графика с прямой $y=a$:

- Если прямая $y=a$ проходит выше локального максимума ($a > 2$) или ниже локального минимума ($a < -2$), будет одна точка пересечения.
- Если прямая $y=a$ касается графика в точках экстремума ($a = 2$ или $a = -2$), будет две точки пересечения.
- Если прямая $y=a$ находится между локальным максимумом и минимумом ($-2 < a < 2$), будет три точки пересечения.

Ответ:
- при $|a| > 2$ (то есть $a \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$) — 1 корень;
- при $|a| = 2$ (то есть $a = -2$ или $a = 2$) — 2 корня;
- при $|a| < 2$ (то есть $a \in (-2, 2)$) — 3 корня.

2.

Для построения графика функции $f(x) = \frac{6x}{x^2 + 9}$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения:
Знаменатель $x^2 + 9$ всегда положителен (так как $x^2 \geq 0$, то $x^2+9 \geq 9$). Следовательно, область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Чётность и симметрия:
$f(-x) = \frac{6(-x)}{(-x)^2 + 9} = \frac{-6x}{x^2 + 9} = -f(x)$.
Функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат (0,0).

3. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: $x=0 \implies f(0) = \frac{0}{9} = 0$. Точка (0,0).
- С осью OX: $f(x)=0 \implies \frac{6x}{x^2 + 9} = 0 \implies x=0$. Точка (0,0).
График проходит через начало координат.

4. Асимптоты:
- Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.
- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{6x}{x^2 + 9} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{6/x}{1 + 9/x^2} = \frac{0}{1} = 0$.
Следовательно, $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой.

5. Производная и точки экстремума:
Найдём первую производную по правилу дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{(6x)'(x^2+9) - 6x(x^2+9)'}{(x^2+9)^2} = \frac{6(x^2+9) - 6x(2x)}{(x^2+9)^2} = \frac{6x^2 + 54 - 12x^2}{(x^2+9)^2} = \frac{54 - 6x^2}{(x^2+9)^2} = \frac{6(9 - x^2)}{(x^2+9)^2}$.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies 9-x^2=0 \implies x = \pm3$.
- При $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-3, 3)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- $x = -3$ — точка минимума. $f(-3) = \frac{6(-3)}{(-3)^2+9} = \frac{-18}{18} = -1$. Точка минимума $(-3, -1)$.
- $x = 3$ — точка максимума. $f(3) = \frac{6(3)}{3^2+9} = \frac{18}{18} = 1$. Точка максимума $(3, 1)$.

6. Сводка для построения графика:
- График симметричен относительно начала координат.
- Проходит через точку (0,0).
- Приближается к оси OX при $x \to \pm\infty$.
- Убывает на $(-\infty, -3]$, достигает минимума в точке $(-3, -1)$.
- Возрастает на $[-3, 3]$, достигает максимума в точке $(3, 1)$.
- Убывает на $[3, \infty)$.

Ответ: График функции представляет собой кривую, симметричную относительно начала координат. Он начинается от горизонтальной асимптоты $y=0$ слева, убывает до точки локального минимума $(-3, -1)$, затем возрастает, проходя через начало координат $(0,0)$, до точки локального максимума $(3, 1)$, после чего снова убывает, асимптотически приближаясь к оси $OX$ справа.