Номер 43, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 43

Точки экстремума функции

1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 + 5}{2 - x}$;

2) $f(x) = x^2 \sqrt{3 - x}$.

2. На рисунке 14 изображён график производной функции $f$, определённой на $R$. Укажите:

1) критические точки функции $f$;

2) точки экстремума функции $f$.

Рис. 14

3. Найдите, при каких значениях параметра $a$ функция $f(x) = \cos^2 x + (4a - 3)x$:

1) не имеет критических точек;

2) не имеет точек экстремума.

1.

1) $f(x) = \frac{x^2 + 5}{2 - x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю ($2-x \neq 0 \implies x \neq 2$).

2. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x^2+5)'(2-x) - (x^2+5)(2-x)'}{(2-x)^2} = \frac{2x(2-x) - (x^2+5)(-1)}{(2-x)^2} = \frac{4x - 2x^2 + x^2 + 5}{(2-x)^2} = \frac{-x^2 + 4x + 5}{(2-x)^2}$.

3. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$. Производная не определена при $x=2$, но эта точка не входит в область определения функции.

$\frac{-x^2 + 4x + 5}{(2-x)^2} = 0 \implies -x^2 + 4x + 5 = 0 \implies x^2 - 4x - 5 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки и точка разрыва делят область определения: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; 5)$, $(5; +\infty)$.

Знак $f'(x)$ зависит только от знака числителя $-x^2 + 4x + 5$, так как знаменатель $(2-x)^2$ всегда положителен. График числителя – парабола с ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках -1 и 5.

• При $x \in (-\infty; -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1; 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (2; 5)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (5; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $x_{min} = -1$.

В точке $x = 5$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. $x_{max} = 5$.

Промежутки возрастания: $[-1, 2)$ и $(2, 5]$.

Промежутки убывания: $(-\infty, -1]$ и $[5, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1, 2)$ и $(2, 5]$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[5, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = -1$, точка максимума $x_{max} = 5$.

2) $f(x) = x^2 \sqrt{3-x}$

1. Область определения функции: $3-x \ge 0 \implies x \le 3$. $D(f) = (-\infty; 3]$.

2. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^2)'\sqrt{3-x} + x^2(\sqrt{3-x})' = 2x\sqrt{3-x} + x^2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{3-x}} = \frac{2x(3-x) \cdot 2 - x^2}{2\sqrt{3-x}} = \frac{4x(3-x) - x^2}{2\sqrt{3-x}} = \frac{12x - 5x^2}{2\sqrt{3-x}}$.

3. Найдём критические точки. Производная не определена при $x=3$ (эта точка является критической, так как входит в область определения). Приравняем производную к нулю:

$\frac{12x - 5x^2}{2\sqrt{3-x}} = 0 \implies 12x - 5x^2 = 0 \implies x(12 - 5x) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{12}{5} = 2.4$.

Критические точки: 0, 2.4, 3.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2.4)$, $(2.4; 3)$. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $12x - 5x^2$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; 2.4)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (2.4; 3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $x_{min} = 0$.

В точке $x = 12/5$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. $x_{max} = 12/5$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 12/5]$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[12/5, 3]$; точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 12/5$.

2.

На рисунке изображен график производной $y = f'(x)$.

1) Критические точки функции $f(x)$ — это точки, в которых её производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. Так как график $f'(x)$ непрерывен, производная существует всюду. Критическими точками будут нули производной, то есть абсциссы точек пересечения графика $f'(x)$ с осью Ox.

Из графика видно, что $f'(x) = 0$ при $x = -7, x = -4, x = 0, x = 3$.

Ответ: критические точки функции $f$: -7, -4, 0, 3.

2) Точки экстремума — это критические точки, в которых производная меняет знак.

• В точке $x = -7$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» (график выше оси) на «−» (график ниже оси). Следовательно, $x = -7$ — точка максимума.
• В точке $x = -4$ производная $f'(x)$ меняет знак с «−» на «+». Следовательно, $x = -4$ — точка минимума.
• В точке $x = 0$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−». Следовательно, $x = 0$ — точка максимума.
• В точке $x = 3$ производная $f'(x)$ равна нулю, но не меняет знак (график касается оси и остается ниже неё). Следовательно, $x = 3$ не является точкой экстремума.

Ответ: точки максимума $x = -7, x = 0$; точка минимума $x = -4$.

3.

Дана функция $f(x) = \cos^2 x + (4a - 3)x$.

Найдём её производную:

$f'(x) = (\cos^2 x)' + ((4a - 3)x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) + (4a - 3) = -2\sin x \cos x + 4a - 3 = -\sin(2x) + 4a - 3$.

Производная определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Критические точки — это решения уравнения $f'(x) = 0$.

$-\sin(2x) + 4a - 3 = 0 \implies \sin(2x) = 4a - 3$.

1) Функция не имеет критических точек, если уравнение $\sin(2x) = 4a - 3$ не имеет решений. Это происходит, когда значение выражения $4a - 3$ выходит за пределы области значений синуса, которая равна $[-1, 1]$. То есть, $|4a - 3| > 1$.

Раскроем модуль:

$4a - 3 > 1 \implies 4a > 4 \implies a > 1$.

$4a - 3 < -1 \implies 4a < 2 \implies a < \frac{1}{2}$.

Ответ: $a \in (-\infty; 1/2) \cup (1; +\infty)$.

2) Функция не имеет точек экстремума, если её производная $f'(x)$ не меняет знак. Это возможно в двух случаях: либо у функции нет критических точек, либо критические точки есть, но в них знак производной не меняется.

Знак производной $f'(x) = 4a - 3 - \sin(2x)$ не меняется, если $f'(x) \ge 0$ для всех $x$ или $f'(x) \le 0$ для всех $x$.

1. $f'(x) \ge 0 \implies 4a - 3 - \sin(2x) \ge 0 \implies 4a - 3 \ge \sin(2x)$. Это неравенство должно выполняться для всех $x$. Так как максимальное значение $\sin(2x)$ равно 1, необходимо, чтобы $4a - 3 \ge 1 \implies 4a \ge 4 \implies a \ge 1$.

2. $f'(x) \le 0 \implies 4a - 3 - \sin(2x) \le 0 \implies 4a - 3 \le \sin(2x)$. Это неравенство должно выполняться для всех $x$. Так как минимальное значение $\sin(2x)$ равно -1, необходимо, чтобы $4a - 3 \le -1 \implies 4a \le 2 \implies a \le \frac{1}{2}$.

Объединяя оба случая, получаем, что функция не имеет точек экстремума при $a \le 1/2$ или $a \ge 1$.

Ответ: $a \in (-\infty; 1/2] \cup [1; +\infty)$.