Номер 36, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 36

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство:

1) $ \sin \frac{x}{5} > \frac{1}{2}; $

2) $ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right) \leqslant-\sqrt{3}; $

3) $ \frac{\sqrt{3}}{3} \leqslant \operatorname{ctg} x \leqslant 4; $

4) $ |\cos x| \geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}; $

5) $ \cos x(2 \sin 2 x+\sqrt{3}) < 0. $

1) Решим неравенство $ \sin\frac{x}{5} > \frac{1}{2} $.
Сделаем замену $ t = \frac{x}{5} $, получим неравенство $ \sin t > \frac{1}{2} $.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Сделаем обратную замену:
$ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < \frac{x}{5} < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $
Умножим все части неравенства на 5, чтобы найти $ x $:
$ 5 \cdot \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k\right) < x < 5 \cdot \left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right) $
$ \frac{5\pi}{6} + 10\pi k < x < \frac{25\pi}{6} + 10\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left( \frac{5\pi}{6} + 10\pi k; \frac{25\pi}{6} + 10\pi k \right), k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \text{tg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12}\right) \le -\sqrt{3} $.
Сделаем замену $ t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} $, получим неравенство $ \text{tg}\, t \le -\sqrt{3} $.
Решением этого неравенства с учетом области определения тангенса является полуинтервал $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < t \le -\frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Сделаем обратную замену:
$ -\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} \le -\frac{\pi}{3} + \pi k $
Вычтем $ \frac{\pi}{12} $ из всех частей неравенства:
$ -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} + \pi k < \frac{x}{2} \le -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12} + \pi k $
$ -\frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + \pi k < \frac{x}{2} \le -\frac{4\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + \pi k $
$ -\frac{7\pi}{12} + \pi k < \frac{x}{2} \le -\frac{5\pi}{12} + \pi k $
Умножим все части неравенства на 2:
$ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x \le -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left( -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \right], k \in \mathbb{Z} $.

3) Решим двойное неравенство $ \frac{\sqrt{3}}{3} \le \text{ctg}\, x \le 4 $.
Функция $ y = \text{ctg}\, x $ является убывающей на своем основном периоде $ (0, \pi) $.
Найдем значения $ x $, для которых $ \text{ctg}\, x = \frac{\sqrt{3}}{3} $ и $ \text{ctg}\, x = 4 $.
$ \text{ctg}\, x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{\pi}{3} $.
$ \text{ctg}\, x = 4 \implies x = \text{arccot}(4) $.
Поскольку $ 4 > \frac{\sqrt{3}}{3} $ и функция котангенса убывающая, то $ \text{arccot}(4) < \frac{\pi}{3} $.
Следовательно, на интервале $ (0, \pi) $ решение неравенства: $ \text{arccot}(4) \le x \le \frac{\pi}{3} $.
Учитывая периодичность котангенса (период $ \pi $), общее решение имеет вид:
$ \text{arccot}(4) + \pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left[ \text{arccot}(4) + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k \right], k \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ |\cos x| \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
1) $ \cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $
2) $ \cos x \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Решением первого неравенства является $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Решением второго неравенства является $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Объединяя эти два множества решений, можно заметить, что они симметричны относительно начала координат и повторяются с периодом $ \pi $. Поэтому общее решение можно записать в более компактной форме:
$ -\frac{\pi}{6} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{\pi}{6} + \pi k \right], k \in \mathbb{Z} $.

5) Решим неравенство $ \cos x (2\sin 2x + \sqrt{3}) < 0 $.
Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки. Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули каждого множителя на отрезке $ [0, 2\pi) $.
1) $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{3\pi}{2} $.
2) $ 2\sin 2x + \sqrt{3} = 0 \implies \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ 2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi m $. При $ m=1, 2 $: $ x = \frac{5\pi}{6}, x = \frac{11\pi}{6} $.
$ 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi m $. При $ m=1, 2 $: $ x = \frac{2\pi}{3}, x = \frac{5\pi}{3} $.
Отметим точки $ \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}, \frac{11\pi}{6} $ на числовой окружности и определим знаки выражения на получившихся интервалах.

• Интервал $ (0, \frac{\pi}{2}) $: $ \cos x > 0 $, $ \sin 2x > 0 \implies $ выражение > 0.
• Интервал $ (\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}) $: $ \cos x < 0 $, $ \sin 2x > 0 \implies $ выражение < 0.
• Интервал $ (\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}) $: $ \cos x < 0 $, $ \sin 2x < -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies $ выражение > 0.
• Интервал $ (\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}) $: $ \cos x < 0 $, $ \sin 2x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies $ выражение < 0.
• Интервал $ (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}) $: $ \cos x > 0 $, $ \sin 2x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies $ выражение > 0.
• Интервал $ (\frac{5\pi}{3}, \frac{11\pi}{6}) $: $ \cos x > 0 $, $ \sin 2x < -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies $ выражение < 0.
• Интервал $ (\frac{11\pi}{6}, 2\pi) $: $ \cos x > 0 $, $ \sin 2x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies $ выражение > 0.

Объединяем интервалы, где выражение отрицательно, и добавляем период $ 2\pi k $.
Ответ: $ x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{5\pi}{3} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.