Номер 39, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 39

Понятие производной

1. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{5-x}{7}$;

2) $y = x^{2,4}$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^3}}$.

2. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{6}$;

2) $f(x) = 3x^3\sqrt{x}, x_0 = 4$.

3. Найдите с помощью графика функции $f$ (рис. 12) значения $f'(x_1)$, $f'(x_2)$ и $f'(x_3)$.

Рис. 12

4. Касательная к графику функции $f(x) = x^3$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k = \frac{1}{12}$. Найдите $x_0$.

5. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = \frac{1}{t^3}$. Найдите $s'(5)$. Какой механический смысл имеет найденная величина?

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{5-x}{7}$ представим ее в виде разности: $y = \frac{5}{7} - \frac{1}{7}x$. Производная константы равна нулю, а производная линейной функции $(kx+b)'=k$. Таким образом, $y' = (\frac{5}{7})' - (\frac{1}{7}x)' = 0 - \frac{1}{7} = -\frac{1}{7}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{7}$.

2) Для нахождения производной степенной функции $y = x^{2.4}$ воспользуемся формулой $(x^n)' = nx^{n-1}$. В данном случае $n=2.4$, поэтому $y' = 2.4 \cdot x^{2.4-1} = 2.4x^{1.4}$.

Ответ: $y' = 2.4x^{1.4}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^3}}$ сначала преобразуем ее к степенному виду $y=x^n$. Имеем $y = \frac{1}{x^{3/8}} = x^{-3/8}$. Теперь применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n = -3/8$: $y' = -\frac{3}{8}x^{-3/8 - 1} = -\frac{3}{8}x^{-11/8}$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{8}x^{-11/8}$.

1) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{6}$. Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$. Теперь вычислим значение производной в точке $x_0$: $f'(-\frac{\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{6})$. Так как функция косинус является четной ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), то $f'(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = 3x^3\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 4$. Сначала преобразуем функцию к степенному виду: $f(x) = 3x^3 \cdot x^{1/2} = 3x^{3+1/2} = 3x^{7/2}$. Найдем производную функции: $f'(x) = (3x^{7/2})' = 3 \cdot \frac{7}{2}x^{7/2-1} = \frac{21}{2}x^{5/2}$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$: $f'(4) = \frac{21}{2} \cdot 4^{5/2} = \frac{21}{2} \cdot (\sqrt{4})^5 = \frac{21}{2} \cdot 2^5 = \frac{21}{2} \cdot 32 = 21 \cdot 16 = 336$.

Ответ: $336$.

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что ее значение равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла наклона $\alpha$), проведенной к графику функции в этой точке: $f'(x) = \tan \alpha$.

Для точки $x_1$ касательная образует с положительным направлением оси Ox угол $150^\circ$. Следовательно, $f'(x_1) = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для точки $x_2$ касательная образует с положительным направлением оси Ox угол $45^\circ$. Следовательно, $f'(x_2) = \tan(45^\circ) = 1$.

Для точки $x_3$, которая является точкой локального минимума, касательная горизонтальна, и ее угол наклона равен $0^\circ$. Следовательно, $f'(x_3) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $f'(x_2) = 1$, $f'(x_3) = 0$.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Дана функция $f(x) = x^3$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{12}$. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3)' = 3x^2$. Приравняем производную к заданному угловому коэффициенту: $f'(x_0) = k$, что дает уравнение $3x_0^2 = \frac{1}{12}$. Решим это уравнение относительно $x_0$: $x_0^2 = \frac{1}{12 \cdot 3} = \frac{1}{36}$. Отсюда $x_0 = \pm\sqrt{\frac{1}{36}} = \pm\frac{1}{6}$.

Ответ: $x_0 = \frac{1}{6}$ или $x_0 = -\frac{1}{6}$.

Дан закон движения материальной точки $s(t) = \frac{1}{t^3}$. Найдем производную функции $s(t)$. Для этого представим функцию в виде $s(t) = t^{-3}$. Тогда $s'(t) = (t^{-3})' = -3t^{-3-1} = -3t^{-4} = -\frac{3}{t^4}$. Вычислим значение производной в момент времени $t=5$: $s'(5) = -\frac{3}{5^4} = -\frac{3}{625}$.

Механический смысл производной от координаты по времени $s'(t)$ — это мгновенная скорость $v(t)$ материальной точки. Таким образом, найденная величина $s'(5)$ — это мгновенная скорость точки в момент времени $t=5$. Знак «минус» указывает на то, что точка движется в направлении, противоположном положительному направлению координатной оси.

Ответ: $s'(5) = -\frac{3}{625}$; это мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t=5$.