Страница 59 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Определение корня $n$-й степени. Функция $y = \sqrt[n]{x}$

1. Вычислите $2(-\sqrt[12]{12})^{12} - 30\sqrt[3]{0,001} + \left(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96}\right)^5$.

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[9]{4 - x})^9$;

2) $y = (\sqrt[10]{x - 2})^{10}$.

3. Решите неравенство:

1) $\sqrt[4]{2x - 3} \le 3$;

2) $\sqrt[8]{x^2 - 7} \ge \sqrt[8]{6x}$.

4. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $(a + 6)\sqrt[8]{x} = 0$;

2) $ax^{10} = 8$.

5. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x^3 + \sqrt[6]{x} = y^3 + \sqrt[6]{y}, \\ 4y^2 + 3x^2 = 7. \end{cases}$

1.

Для вычисления значения выражения $2(-\sqrt[12]{12})^{12} - 30\sqrt[3]{0,001} + (\frac{1}{2}\sqrt[5]{96})^5$ выполним действия по частям.

1) $2(-\sqrt[12]{12})^{12}$. Так как степень 12 четная, то $2(-\sqrt[12]{12})^{12} = 2(\sqrt[12]{12})^{12}$. По определению корня n-й степени $(\sqrt[n]{a})^n = a$, получаем: $2 \cdot 12 = 24$.

2) $-30\sqrt[3]{0,001}$. Представим 0,001 как $0.1^3$: $-30\sqrt[3]{0.1^3} = -30 \cdot 0.1 = -3$.

3) $(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96})^5$. Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$: $(\frac{1}{2})^5 \cdot (\sqrt[5]{96})^5 = \frac{1}{32} \cdot 96 = \frac{96}{32} = 3$.

4) Сложим полученные результаты: $24 - 3 + 3 = 24$.

Ответ: 24.

2.

1) $y = (\sqrt[9]{4-x})^9$

Область определения функции $y = \sqrt[9]{4-x}$ — все действительные числа, так как корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа. По свойству корня нечетной степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для любого $a$. Следовательно, $(\sqrt[9]{4-x})^9 = 4-x$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, функция имеет вид $y = 4-x$. Графиком этой функции является прямая линия, проходящая, например, через точки (0, 4) и (4, 0).

Ответ: График функции — это прямая линия $y = 4-x$.

2) $y = (\sqrt[10]{x-2})^{10}$

Область определения функции (ОДЗ) задается условием, что выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Для всех $x$ из области определения выполняется равенство $(\sqrt[10]{x-2})^{10} = x-2$.

Следовательно, функция имеет вид $y = x-2$ при условии $x \ge 2$. Графиком этой функции является луч, выходящий из точки (2, 0) и проходящий, например, через точку (3, 1).

Ответ: График функции — это луч, заданный уравнением $y = x-2$ при $x \ge 2$, с началом в точке (2, 0).

3.

1) $\sqrt[4]{2x-3} \le 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $2x - 3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge 1.5$.

Так как обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, мы можем возвести их в 4-ю степень, сохраняя знак неравенства: $(\sqrt[4]{2x-3})^4 \le 3^4$ $2x - 3 \le 81$ $2x \le 84$ $x \le 42$.

Объединяя полученное решение с ОДЗ, получаем систему: $\begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \le 42 \end{cases}$ Решением является промежуток $[1.5; 42]$.

Ответ: $[1.5; 42]$.

2) $\sqrt[8]{x^2-7} \ge \sqrt[8]{6x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 7 \ge 0 \\ 6x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 \ge 7 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty) \\ x \ge 0 \end{cases}$ Пересечение этих множеств дает ОДЗ: $x \ge \sqrt{7}$.

На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в 8-ю степень: $x^2 - 7 \ge 6x$ $x^2 - 6x - 7 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 6x - 7$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [7, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x \ge \sqrt{7}$). Учитывая, что $\sqrt{7} \approx 2.65$, получаем: $x \in ([-\infty, -1] \cup [7, \infty)) \cap [\sqrt{7}, \infty) = [7, \infty)$.

Ответ: $[7; \infty)$.

4.

1) $(a+6)\sqrt[8]{x} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: $a+6 = 0$, то есть $a = -6$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[8]{x} = 0$, или $0=0$. Это верное равенство для всех $x$, при которых выражение $\sqrt[8]{x}$ определено, то есть для $x \ge 0$. Следовательно, при $a=-6$ решением является $x \in [0, \infty)$.

Случай 2: $a+6 \ne 0$, то есть $a \ne -6$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a+6)$: $\sqrt[8]{x} = 0$. Возведя обе части в 8-ю степень, получаем $x=0$.

Ответ: если $a = -6$, то $x \in [0, \infty)$; если $a \ne -6$, то $x = 0$.

2) $ax^{10} = 8$

Рассмотрим различные значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x^{10} = 8$, или $0 = 8$. Это неверное равенство, следовательно, корней нет.

Случай 2: $a \ne 0$. Разделим обе части на $a$: $x^{10} = \frac{8}{a}$.

Если $a < 0$, то $\frac{8}{a} < 0$. Выражение $x^{10}$ всегда неотрицательно ($x^{10} \ge 0$), поэтому уравнение $x^{10} = \text{отрицательное число}$ не имеет действительных корней.

Если $a > 0$, то $\frac{8}{a} > 0$. Уравнение $x^{10} = C$, где $C > 0$, имеет два корня: $x = \pm\sqrt[10]{C}$. В нашем случае $x = \pm\sqrt[10]{\frac{8}{a}}$.

Ответ: если $a \le 0$, то корней нет; если $a > 0$, то $x = \pm\sqrt[10]{\frac{8}{a}}$.

5.

Дана система уравнений: $\begin{cases} x^3 + \sqrt[6]{x} = y^3 + \sqrt[6]{y} \\ 4y^2 + 3x^2 = 7 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) системы определяется наличием корней шестой степени: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Введем функцию $f(t) = t^3 + \sqrt[6]{t}$ с областью определения $t \ge 0$. Тогда первое уравнение можно записать как $f(x) = f(y)$.

Исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную для $t > 0$: $f'(t) = (t^3 + t^{1/6})' = 3t^2 + \frac{1}{6}t^{-5/6} = 3t^2 + \frac{1}{6\sqrt[6]{t^5}}$.

При $t > 0$ оба слагаемых в производной строго положительны, значит, $f'(t) > 0$. Следовательно, функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, \infty)$.

Для строго монотонной функции равенство $f(x) = f(y)$ возможно только тогда, когда $x = y$.

Подставим $y = x$ во второе уравнение системы: $4x^2 + 3x^2 = 7$ $7x^2 = 7$ $x^2 = 1$.

Отсюда $x=1$ или $x=-1$.

Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$), корень $x=-1$ не подходит. Единственное решение — $x=1$. Так как $y=x$, то $y=1$.

Проверка показывает, что пара $(1, 1)$ удовлетворяет обоим уравнениям системы и ОДЗ.

Ответ: $(1; 1)$.

Самостоятельная работа № 12

Свойства корня n-й степени

1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{4}$;

2) $\sqrt[7]{74 \cdot 29} \cdot \sqrt[7]{73 \cdot 25}$;

3) $\frac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{243}}$.

2. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{7\sqrt{b}}$;

2) $\sqrt[28]{n^{16}}$;

3) $\sqrt[18]{d^{26}}$;

4) $3\sqrt[6]{3\sqrt{5}}$;

5) $\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}}$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[3]{24}$;

2) $\sqrt[4]{243}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $-3\sqrt[3]{4}$;

2) $-10\sqrt[4]{0,789}$.

5. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{x}-9}{\sqrt[4]{x}+3}$;

2) $\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{x+\sqrt[6]{x^5}}$;

3) $\frac{x+64}{\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16}$.

1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{4}$

Используем свойство произведения корней с одинаковыми показателями $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{16 \cdot 4} = \sqrt[6]{64}$

Так как $64 = 2^6$, получаем:

$\sqrt[6]{2^6} = 2$

Ответ: $2$

2) $\sqrt[7]{74 \cdot 29} \cdot \sqrt[7]{73 \cdot 25}$

Данное выражение, скорее всего, содержит опечатку. В таких заданиях обычно предполагается, что числа под корнем можно сгруппировать для упрощения. Вероятный правильный вариант условия: $\sqrt[7]{7^4 \cdot 2^9} \cdot \sqrt[7]{7^3 \cdot 2^5}$. Решим его.

Используем свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[7]{7^4 \cdot 2^9} \cdot \sqrt[7]{7^3 \cdot 2^5} = \sqrt[7]{(7^4 \cdot 2^9) \cdot (7^3 \cdot 2^5)}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[7]{7^{4+3} \cdot 2^{9+5}} = \sqrt[7]{7^7 \cdot 2^{14}}$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt[7]{7^7} \cdot \sqrt[7]{2^{14}} = 7 \cdot \sqrt[7]{(2^2)^7} = 7 \cdot 2^2 = 7 \cdot 4 = 28$

Ответ: $28$

3) $\frac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{243}}$

Используем свойство частного корней с одинаковыми показателями $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{243}} = \sqrt[4]{\frac{48}{243}}$

Сократим дробь под корнем. Числитель и знаменатель делятся на 3:

$48 = 16 \cdot 3$

$243 = 81 \cdot 3$

$\sqrt[4]{\frac{16 \cdot 3}{81 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\frac{16}{81}}$

Так как $16 = 2^4$ и $81 = 3^4$, получаем:

$\sqrt[4]{\frac{2^4}{3^4}} = \frac{\sqrt[4]{2^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

2. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{\sqrt[7]{b}}$

Используем свойство корня из корня $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:

$\sqrt[6]{\sqrt[7]{b}} = \sqrt[6 \cdot 7]{b} = \sqrt[42]{b}$

Ответ: $\sqrt[42]{b}$

2) $\sqrt[28]{n^{16}}$

Представим корень в виде степени с дробным показателем и сократим дробь:

$\sqrt[28]{n^{16}} = n^{\frac{16}{28}} = n^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{n^4}$

Ответ: $\sqrt[7]{n^4}$

3) $\sqrt[18]{d^{26}}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 2:

$\sqrt[18]{d^{26}} = \sqrt[9]{d^{13}}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[9]{d^{13}} = \sqrt[9]{d^9 \cdot d^4} = d\sqrt[9]{d^4}$

Поскольку исходный показатель корня (18) — четное число, подкоренное выражение $d^{26}$ неотрицательно при любом $d$. Чтобы результат был также неотрицательным (по определению арифметического корня), необходимо использовать модуль. $\sqrt[18]{d^{26}} = \sqrt[9]{|d|^{13}} = |d|\sqrt[9]{d^4}$

Ответ: $|d|\sqrt[9]{d^4}$

4) $\sqrt[3]{6\sqrt[3]{5}}$

Внесем множитель 6 под внутренний корень, возведя его в степень 3:

$\sqrt[3]{6\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{6^3 \cdot 5}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{216 \cdot 5}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{1080}}$

Используем свойство корня из корня:

$\sqrt[3 \cdot 3]{1080} = \sqrt[9]{1080}$

Ответ: $\sqrt[9]{1080}$

5) $\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}}$

Внесем множитель $p$ под внутренний корень, возведя его в степень 5 (при $p \ge 0$):

$\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{p^5 \cdot p}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{p^6}}$

Используем свойство корня из корня:

$\sqrt[6 \cdot 5]{p^6} = \sqrt[30]{p^6}$

Сократим показатель корня и показатель степени на 6:

$\sqrt[5]{p}$

Ответ: $\sqrt[5]{p}$

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[3]{24}$

Разложим число 24 на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа:

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$

Ответ: $2\sqrt[3]{3}$

2) $\sqrt[4]{243}$

Разложим число 243 на множители так, чтобы один из них был четвертой степенью целого числа:

$243 = 81 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3$

$\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 3} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{3} = 3\sqrt[4]{3}$

Ответ: $3\sqrt[4]{3}$

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $-3\sqrt[3]{4}$

Поскольку показатель корня (3) нечетный, мы можем внести отрицательное число под корень. Возведем -3 в куб:

$-3 = \sqrt[3]{(-3)^3} = \sqrt[3]{-27}$

$-3\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{-27} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{-27 \cdot 4} = \sqrt[3]{-108}$

Ответ: $\sqrt[3]{-108}$

2) $-10\sqrt[4]{0,789}$

Показатель корня (4) четный, поэтому под знак корня можно вносить только неотрицательное число. Знак "минус" остается перед корнем:

$-10\sqrt[4]{0,789} = -\sqrt[4]{10^4 \cdot 0,789}$

$10^4 = 10000$

$-\sqrt[4]{10000 \cdot 0,789} = -\sqrt[4]{7890}$

Ответ: $-\sqrt[4]{7890}$

5. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{x}-9}{\sqrt[4]{x}+3}$

Заметим, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$. Тогда числитель можно разложить по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\sqrt{x} - 9 = (\sqrt[4]{x})^2 - 3^2 = (\sqrt[4]{x}-3)(\sqrt[4]{x}+3)$

Подставим в дробь:

$\frac{(\sqrt[4]{x}-3)(\sqrt[4]{x}+3)}{\sqrt[4]{x}+3}$

Сократим на $(\sqrt[4]{x}+3)$, так как это выражение всегда положительно при $x \ge 0$.

$\sqrt[4]{x}-3$

Ответ: $\sqrt[4]{x}-3$

2) $\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{x+\sqrt[6]{x^5}}$

Приведем все степени к основанию $\sqrt[6]{x}$. Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$ и $x = (\sqrt[6]{x})^6$.

Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

$\frac{\sqrt[6]{x^2}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x^6}+\sqrt[6]{x^5}} = \frac{\sqrt[6]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}{\sqrt[6]{x^5}(\sqrt[6]{x}+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[6]{x}+1)$, при условии $x \ne 0$:

$\frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x^5}} = \sqrt[6]{\frac{x}{x^5}} = \sqrt[6]{\frac{1}{x^4}} = \frac{1}{\sqrt[6]{x^4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$

3) $\frac{x+64}{\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16}$

Это выражение похоже на формулу суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Пусть $a=\sqrt[3]{x}$ и $b=4$. Тогда:

$a^3 = (\sqrt[3]{x})^3 = x$

$b^3 = 4^3 = 64$

Числитель дроби $x+64$ можно представить как $a^3+b^3$.

Знаменатель дроби: $\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16 = (\sqrt[3]{x})^2 - 4\sqrt[3]{x} + 4^2$, что соответствует выражению $a^2-ab+b^2$.

Тогда вся дробь имеет вид:

$\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2-ab+b^2} = a+b$

Подставим обратно значения $a$ и $b$:

$a+b = \sqrt[3]{x}+4$

Ответ: $\sqrt[3]{x}+4$