Страница 62 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 16

Различные приёмы решения

иррациональных уравнений и их систем

1) $\sqrt{x-5} - 8 = 2\sqrt[4]{x-5}$;

2) $\sqrt{\frac{x+4}{x-4}} - 2\sqrt{\frac{x-4}{x+4}} = \frac{7}{3}$;

3) $3x^2 + 15x + 2\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2$;

4) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = -2 \\ xy = -27 \end{cases}$;

5) $\sqrt[3]{x+10} + \sqrt[3]{6-x} = 4$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{x-5} - 8 = 2\sqrt[4]{x-5}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-5 \geq 0$, откуда $x \geq 5$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x-5}$. Так как корень четвертой степени является неотрицательным, то $t \geq 0$.
Тогда $\sqrt{x-5} = (\sqrt[4]{x-5})^2 = t^2$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$t^2 - 8 = 2t$
$t^2 - 2t - 8 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.
Согласно условию замены $t \geq 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним. Используем корень $t_1 = 4$.
Вернемся к исходной переменной:
$\sqrt[4]{x-5} = 4$
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$x-5 = 4^4$
$x-5 = 256$
$x = 261$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $261 \geq 5$. Условие выполняется.
Ответ: 261.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x+4}{x-4}} - 2\sqrt{\frac{x-4}{x+4}} = \frac{7}{3}$.
ОДЗ: выражения под корнями должны быть строго положительными (так как они также находятся в знаменателе): $\frac{x+4}{x-4} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.
Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{x+4}{x-4}}$. Тогда $t > 0$.
Второе слагаемое $\sqrt{\frac{x-4}{x+4}}$ является обратной величиной: $\sqrt{\frac{x-4}{x+4}} = \frac{1}{t}$.
Уравнение принимает вид:
$t - 2 \cdot \frac{1}{t} = \frac{7}{3}$
$t - \frac{2}{t} = \frac{7}{3}$
Умножим обе части на $3t$ (так как $t \neq 0$):
$3t^2 - 6 = 7t$
$3t^2 - 7t - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
$t_1 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.
$t_2 = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Так как по условию замены $t > 0$, корень $t_2 = -2/3$ не подходит. Используем $t_1 = 3$.
Производим обратную замену:
$\sqrt{\frac{x+4}{x-4}} = 3$
Возводим обе части в квадрат:
$\frac{x+4}{x-4} = 9$
$x+4 = 9(x-4)$
$x+4 = 9x - 36$
$40 = 8x$
$x = 5$.
Проверяем соответствие ОДЗ: $5 \in (4; +\infty)$. Корень подходит.
Ответ: 5.

3) Исходное уравнение: $3x^2 + 15x + 2\sqrt{x^2+5x+1} = 2$.
ОДЗ: $x^2+5x+1 \geq 0$.
Преобразуем левую часть, вынеся 3 за скобки: $3(x^2+5x) + 2\sqrt{x^2+5x+1} = 2$.
Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2+5x+1}$, где $t \geq 0$.
Тогда $t^2 = x^2+5x+1$, откуда $x^2+5x = t^2-1$.
Подставим в уравнение:
$3(t^2-1) + 2t = 2$
$3t^2 - 3 + 2t = 2$
$3t^2 + 2t - 5 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$t_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
$t_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.
По условию $t \geq 0$, поэтому $t_2 = -5/3$ - посторонний корень. Используем $t_1 = 1$.
Вернемся к переменной $x$:
$\sqrt{x^2+5x+1} = 1$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2+5x+1 = 1$
$x^2+5x = 0$
$x(x+5) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=-5$.
Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x^2+5x+1 \geq 0$):
Для $x=0$: $0^2+5(0)+1 = 1 \geq 0$. Корень подходит.
Для $x=-5$: $(-5)^2+5(-5)+1 = 25-25+1 = 1 \geq 0$. Корень подходит.
Ответ: -5; 0.

4) Исходная система уравнений: $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = -2 \\ xy = -27 \end{cases}$.
Введем новые переменные: $a = \sqrt[3]{x}$, $b = \sqrt[3]{y}$.
Тогда $x = a^3$, $y = b^3$.
Первое уравнение системы примет вид: $a+b = -2$.
Преобразуем второе уравнение: $xy = a^3 b^3 = (ab)^3 = -27$.
Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $ab = -3$.
Теперь решаем новую, более простую систему: $\begin{cases} a+b = -2 \\ ab = -3 \end{cases}$.
По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (a+b)z + ab = 0$:
$z^2 - (-2)z + (-3) = 0$
$z^2 + 2z - 3 = 0$
Корни этого уравнения: $z_1 = 1$, $z_2 = -3$.
Следовательно, возможны два случая:
1. $a=1$, $b=-3$.
2. $a=-3$, $b=1$.
Вернемся к переменным $x$ и $y$:
В первом случае: $x = a^3 = 1^3 = 1$; $y = b^3 = (-3)^3 = -27$. Получаем решение $(1; -27)$.
Во втором случае: $x = a^3 = (-3)^3 = -27$; $y = b^3 = 1^3 = 1$. Получаем решение $(-27; 1)$.
Ответ: (1; -27), (-27; 1).

5) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x+10} + \sqrt[3]{6-x} = 4$.
Введем замену: $a = \sqrt[3]{x+10}$, $b = \sqrt[3]{6-x}$.
Уравнение примет вид: $a+b=4$.
Возведем выражения для $a$ и $b$ в куб:
$a^3 = x+10$
$b^3 = 6-x$
Сложим эти два равенства: $a^3 + b^3 = (x+10) + (6-x) = 16$.
Получили систему уравнений: $\begin{cases} a+b = 4 \\ a^3+b^3=16 \end{cases}$.
Используем формулу суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Подставим известные значения: $16 = 4(a^2-ab+b^2)$, откуда $a^2-ab+b^2 = 4$.
Также из $a+b=4$ следует, что $(a+b)^2=16$, то есть $a^2+2ab+b^2=16$.
Теперь вычтем из второго полученного уравнения первое:
$(a^2+2ab+b^2) - (a^2-ab+b^2) = 16-4$
$3ab=12$
$ab=4$.
Мы получили систему: $\begin{cases} a+b=4 \\ ab=4 \end{cases}$.
По теореме Виета, $a$ и $b$ - корни уравнения $z^2 - 4z + 4 = 0$, или $(z-2)^2=0$.
Это уравнение имеет один корень $z=2$. Значит, $a=2$ и $b=2$.
Произведем обратную замену (достаточно использовать одну из переменных):
$a = \sqrt[3]{x+10} = 2$
Возведем в куб:
$x+10 = 2^3 = 8$
$x = 8-10 = -2$.
Проверка: $\sqrt[3]{-2+10} + \sqrt[3]{6-(-2)} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} = 2+2=4$. Решение верное.
Ответ: -2.

Самостоятельная работа № 17

Иррациональные неравенства

1. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3-2x} > \sqrt{x+1}$;

2) $\sqrt{2x^2-3x-5} \le x-1$;

3) $\sqrt{x+24} > x-6$;

4) $(6-7x)\sqrt{x+2} \le 0$.

2. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство $a\sqrt{x+3} < 1$.

1) Исходное неравенство $ \sqrt{3 - 2x} > \sqrt{x + 1} $ равносильно системе неравенств, так как обе части неравенства неотрицательны в области определения:

$ \begin{cases} 3 - 2x > x + 1 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} $

Решаем первое неравенство системы:

$ 3 - 1 > 2x + x $

$ 2 > 3x $

$ x < \frac{2}{3} $

Решаем второе неравенство системы:

$ x \ge -1 $

Находим пересечение решений: $ x \in [-1, \frac{2}{3}) $.

Ответ: $ [-1, \frac{2}{3}) $.

2) Неравенство вида $ \sqrt{f(x)} \le g(x) $ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le (g(x))^2 \end{cases} $

Для неравенства $ \sqrt{2x^2 - 3x - 5} \le x - 1 $ получаем систему:

$ \begin{cases} 2x^2 - 3x - 5 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \\ 2x^2 - 3x - 5 \le (x - 1)^2 \end{cases} $

1. Решим $ 2x^2 - 3x - 5 \ge 0 $. Корни квадратного трехчлена $ 2x^2 - 3x - 5 $ равны $ x_1 = -1 $ и $ x_2 = 2.5 $. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $ x \in (-\infty, -1] \cup [2.5, +\infty) $.

2. Решим $ x - 1 \ge 0 $. Получаем $ x \ge 1 $.

3. Решим $ 2x^2 - 3x - 5 \le (x - 1)^2 $:

$ 2x^2 - 3x - 5 \le x^2 - 2x + 1 $

$ x^2 - x - 6 \le 0 $

Корни трехчлена $ x^2 - x - 6 $ равны $ x_1 = -2 $ и $ x_2 = 3 $. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $ x \in [-2, 3] $.

Найдем пересечение решений всех трех неравенств: $ x \in ([-\infty, -1] \cup [2.5, +\infty)) \cap [1, +\infty) \cap [-2, 3] $.

Пересечение первых двух множеств: $ [2.5, +\infty) $.

Пересечение результата с третьим множеством: $ [2.5, +\infty) \cap [-2, 3] = [2.5, 3] $.

Ответ: $ [2.5, 3] $.

3) Неравенство вида $ \sqrt{f(x)} > g(x) $ равносильно совокупности двух систем:

$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{gathered} \right. $

Для неравенства $ \sqrt{x + 24} > x - 6 $ получаем:

Первая система:

$ \begin{cases} x - 6 < 0 \\ x + 24 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 6 \\ x \ge -24 \end{cases} \implies x \in [-24, 6) $.

Вторая система:

$ \begin{cases} x - 6 \ge 0 \\ x + 24 > (x - 6)^2 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 6 \\ x + 24 > x^2 - 12x + 36 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 6 \\ x^2 - 13x + 12 < 0 \end{cases} $.

Корни уравнения $ x^2 - 13x + 12 = 0 $ равны $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 12 $. Решение неравенства $ x^2 - 13x + 12 < 0 $ есть интервал $ (1, 12) $.

Пересечение решений второй системы: $ x \in [6, +\infty) \cap (1, 12) = [6, 12) $.

Объединение решений обеих систем дает окончательный ответ: $ [-24, 6) \cup [6, 12) = [-24, 12) $.

Ответ: $ [-24, 12) $.

4) Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства $ (6 - 7x)\sqrt{x + 2} \le 0 $ определяется условием $ x + 2 \ge 0 $, то есть $ x \ge -2 $.

На ОДЗ множитель $ \sqrt{x + 2} $ всегда неотрицателен. Неравенство выполняется в двух случаях:

1. Если $ \sqrt{x + 2} = 0 $, то есть $ x = -2 $. При этом значении левая часть неравенства равна нулю, и неравенство $ 0 \le 0 $ выполняется. Таким образом, $ x = -2 $ является решением.

2. Если $ \sqrt{x + 2} > 0 $, то есть $ x > -2 $, то для выполнения неравенства множитель $ (6 - 7x) $ должен быть неположительным:

$ 6 - 7x \le 0 $

$ 6 \le 7x $

$ x \ge \frac{6}{7} $

Объединяя оба случая, получаем множество решений.

Ответ: $ \{-2\} \cup [\frac{6}{7}, +\infty) $.

2. Решим неравенство $ a\sqrt{x + 3} < 1 $ для каждого значения параметра $ a $.

Область допустимых значений (ОДЗ): $ x + 3 \ge 0 $, то есть $ x \ge -3 $.

Рассмотрим три возможных случая для параметра $ a $.

Случай 1: $ a > 0 $

Разделим обе части неравенства на положительное число $ a $:

$ \sqrt{x + 3} < \frac{1}{a} $

Так как обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$ x + 3 < \frac{1}{a^2} $

$ x < \frac{1}{a^2} - 3 $

Учитывая ОДЗ ($ x \ge -3 $), получаем решение: $ -3 \le x < \frac{1}{a^2} - 3 $.

Случай 2: $ a = 0 $

Неравенство принимает вид $ 0 \cdot \sqrt{x + 3} < 1 $, то есть $ 0 < 1 $. Это верное числовое неравенство, поэтому оно выполняется для всех $ x $ из ОДЗ.

Решение: $ x \ge -3 $.

Случай 3: $ a < 0 $

В этом случае левая часть неравенства $ a\sqrt{x + 3} $ неположительна ($ \le 0 $) для всех $ x $ из ОДЗ, а правая часть равна 1. Неравенство $ (\text{неположительное число}) < 1 $ верно всегда. Следовательно, решением является вся ОДЗ.

Решение: $ x \ge -3 $.

Соберем все случаи вместе.

Ответ: если $ a \le 0 $, то $ x \in [-3, +\infty) $; если $ a > 0 $, то $ x \in [-3, \frac{1}{a^2} - 3) $.

Самостоятельная работа № 18

Радианная мера угла

1. Найдите радианную меру угла, равного:

1) 10°; 2) 270°.

2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $ \frac{\pi}{15} $; 2) $ 1\frac{5}{6}\pi $.

3. В какой координатной четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $ P_0(1; 0) $ на угол:

1) 126°; 3) $ -\frac{7\pi}{6} $;

2) $ \frac{\pi}{5} $; 4) -5?

4. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $ P_0(-1; 0) $, чтобы получить точку:

1) $ P_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $; 2) $ P_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

5. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $ P_0(1; 0) $ на углы:

1) $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $; 2) $ \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

1) Чтобы найти радианную меру угла в 10°, нужно умножить его градусную меру на множитель $\frac{\pi}{180^\circ}$. $10^\circ = 10 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{18}$ рад. Ответ: $\frac{\pi}{18}$.

2) Аналогично, для угла в 270°: $270^\circ = 270 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{27\pi}{18} = \frac{3\pi}{2}$ рад. Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

1) Чтобы найти градусную меру угла, радианная мера которого равна $\frac{\pi}{15}$, нужно умножить ее на множитель $\frac{180^\circ}{\pi}$. $\frac{\pi}{15} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{15} = 12^\circ$. Ответ: $12^\circ$.

2) Сначала представим смешанное число $1\frac{5}{6}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{5}{6}\pi = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6}\pi = \frac{11\pi}{6}$. Теперь переведем в градусы: $\frac{11\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 11 \cdot \frac{180^\circ}{6} = 11 \cdot 30^\circ = 330^\circ$. Ответ: $330^\circ$.

1) Угол $126^\circ$ находится между $90^\circ$ и $180^\circ$ ($90^\circ < 126^\circ < 180^\circ$). Следовательно, точка, полученная поворотом на этот угол, находится во второй координатной четверти. Ответ: во II четверти.

2) Переведем угол $\frac{\pi}{5}$ из радиан в градусы: $\frac{\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 36^\circ$. Так как $0^\circ < 36^\circ < 90^\circ$, точка находится в первой координатной четверти. Ответ: в I четверти.

3) Для отрицательного угла $-\frac{7\pi}{6}$ найдем соответствующий ему наименьший положительный угол, прибавив полный оборот $2\pi$: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ соответствует $150^\circ$. Так как $90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$, точка находится во второй координатной четверти. Ответ: во II четверти.

4) Угол $-5$ дан в радианах. Найдем соответствующий ему наименьший положительный угол, прибавив $2\pi$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,1416$, получим $2\pi \approx 6,2832$. Тогда угол поворота равен $-5 + 2\pi \approx -5 + 6,2832 = 1,2832$ радиан. Границами первой четверти являются $0$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Так как $0 < 1,2832 < 1,5708$, точка находится в первой координатной четверти. Ответ: в I четверти.

1) Начальная точка $P_0(-1; 0)$ на единичной окружности соответствует углу $\pi$. Конечная точка $P_1(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ имеет координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Отсюда $\cos\alpha = \frac{1}{2}$ и $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, что соответствует углу $\alpha = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ для любого целого $n$. Угол поворота $\theta$ равен разности конечного и начального углов: $\theta = \alpha - \pi = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3}$. Общая формула для всех углов поворота, учитывая полные обороты: $\theta = -\frac{4\pi}{3} + 2\pi k$. Это можно записать как $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Конечная точка $P_2(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$ соответствует углу $\alpha$, для которого $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это угол II четверти, $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ для любого целого $n$. Угол поворота $\theta$ от точки $P_0(-1; 0)$ равен: $\theta = \alpha - \pi = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$. Общая формула для всех углов поворота: $\theta = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1) Координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Для углов $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, слагаемое $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов и не влияет на конечное положение точки. Поэтому достаточно вычислить координаты для $\alpha = \frac{\pi}{4}$: $x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

2) Для углов вида $\frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$, мы получим набор различных точек на единичной окружности. Найдем координаты для последовательных целых значений $k$, пока точки не начнут повторяться. Период повторения для данного случая равен 6, так как $\frac{\pi \cdot 6}{3} = 2\pi$.

• При $k=0$: угол $0$, точка $(\cos 0, \sin 0) = (1, 0)$.
• При $k=1$: угол $\frac{\pi}{3}$, точка $(\cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• При $k=2$: угол $\frac{2\pi}{3}$, точка $(\cos\frac{2\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• При $k=3$: угол $\pi$, точка $(\cos\pi, \sin\pi) = (-1, 0)$.
• При $k=4$: угол $\frac{4\pi}{3}$, точка $(\cos\frac{4\pi}{3}, \sin\frac{4\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
• При $k=5$: угол $\frac{5\pi}{3}$, точка $(\cos\frac{5\pi}{3}, \sin\frac{5\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=6$ угол равен $2\pi$, что соответствует той же точке, что и при $k=0$. Ответ: $(1; 0)$, $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-1; 0)$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.