Страница 69 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 28

Формулы для преобразования суммы, разности и произведения тригонометрических функций

1. Преобразуйте в произведение:

1) $ \sin 100^\circ - \sin 40^\circ $

2) $ \cos \left( 3\alpha - \frac{3\pi}{4} \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + 3\alpha \right) $

3) $ \cos 2\alpha + \sin \alpha $

4) $ 2\cos \alpha - 1. $

2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $ \sin \frac{11\pi}{24} \sin \frac{7\pi}{24} $

2) $ \sin \alpha \cos \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right). $

3. Докажите тождество:

1) $ \sin 5\alpha \sin \alpha + \cos 7\alpha \cos \alpha = \cos 6\alpha \cos 2\alpha $

2) $ \sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta. $

1. Преобразуйте в произведение:

1) sin100° - sin40°

Используем формулу разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $.

Подставим $ x = 100^\circ $ и $ y = 40^\circ $:

$ \sin 100^\circ - \sin 40^\circ = 2\sin\frac{100^\circ-40^\circ}{2}\cos\frac{100^\circ+40^\circ}{2} = 2\sin\frac{60^\circ}{2}\cos\frac{140^\circ}{2} = 2\sin 30^\circ \cos 70^\circ $.

Так как $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 70^\circ = \cos 70^\circ $.

Ответ: $ \cos 70^\circ $.

2) cos(3α - 3π/4) - cos(π/4 + 3α)

Используем формулу разности косинусов: $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.

Пусть $ x = 3\alpha - \frac{3\pi}{4} $ и $ y = \frac{\pi}{4} + 3\alpha $.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(3\alpha - \frac{3\pi}{4}) + (\frac{\pi}{4} + 3\alpha)}{2} = \frac{6\alpha - \frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{6\alpha - \frac{\pi}{2}}{2} = 3\alpha - \frac{\pi}{4} $.

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(3\alpha - \frac{3\pi}{4}) - (\frac{\pi}{4} + 3\alpha)}{2} = \frac{-\frac{4\pi}{4}}{2} = -\frac{\pi}{2} $.

Подставляем в формулу:

$ -2\sin(3\alpha - \frac{\pi}{4})\sin(-\frac{\pi}{2}) $.

Так как $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $, получаем:

$ -2\sin(3\alpha - \frac{\pi}{4})(-1) = 2\sin(3\alpha - \frac{\pi}{4}) $.

Ответ: $ 2\sin(3\alpha - \frac{\pi}{4}) $.

3) cos2α + sinα

Приведем к одной функции, используя формулу приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos 2\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) $.

Выражение принимает вид: $ \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) + \sin\alpha $.

Используем формулу суммы синусов: $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

Подставляем $ x = \frac{\pi}{2} - 2\alpha $ и $ y = \alpha $:

$ 2\sin\frac{(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) + \alpha}{2}\cos\frac{(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) - \alpha}{2} = 2\sin\frac{\frac{\pi}{2} - \alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{2} - 3\alpha}{2} = 2\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}) $.

Ответ: $ 2\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}) $.

4) 2cosα - 1

Представим 1 как $ 2\cos 60^\circ $, так как $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.

Выражение принимает вид: $ 2\cos\alpha - 2\cos 60^\circ = 2(\cos\alpha - \cos 60^\circ) $.

Используем формулу разности косинусов: $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.

$ 2[-2\sin\frac{\alpha+60^\circ}{2}\sin\frac{\alpha-60^\circ}{2}] = -4\sin(\frac{\alpha}{2} + 30^\circ)\sin(\frac{\alpha}{2} - 30^\circ) $.

Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin x $, можем записать:

$ -4\sin(\frac{\alpha}{2} + 30^\circ)[-\sin(30^\circ - \frac{\alpha}{2})] = 4\sin(\frac{\alpha}{2} + 30^\circ)\sin(30^\circ - \frac{\alpha}{2}) $.

Ответ: $ 4\sin(\frac{\alpha}{2} + 30^\circ)\sin(30^\circ - \frac{\alpha}{2}) $.

2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) sin(11π/24)sin(7π/24)

Используем формулу произведения синусов: $ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $.

Подставим $ x = \frac{11\pi}{24} $ и $ y = \frac{7\pi}{24} $:

$ \sin\frac{11\pi}{24}\sin\frac{7\pi}{24} = \frac{1}{2}(\cos(\frac{11\pi}{24} - \frac{7\pi}{24}) - \cos(\frac{11\pi}{24} + \frac{7\pi}{24})) $.

$ = \frac{1}{2}(\cos\frac{4\pi}{24} - \cos\frac{18\pi}{24}) = \frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{3\pi}{4}) $.

Это преобразование в сумму. Можно также вычислить значение:

$ \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{3\pi}{4}) $.

2) sinα cos(π/6 - α)

Используем формулу произведения синуса на косинус: $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $.

Подставим $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{6} - \alpha $:

$ \sin\alpha \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + (\frac{\pi}{6} - \alpha)) + \sin(\alpha - (\frac{\pi}{6} - \alpha))) $.

$ = \frac{1}{2}(\sin\frac{\pi}{6} + \sin(2\alpha - \frac{\pi}{6})) $.

Так как $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, получаем:

$ = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \sin(2\alpha - \frac{\pi}{6})) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}) $.

Ответ: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}) $.

3. Докажите тождество:

1) sin5αsinα + cos7αcosα = cos6αcos2α

Преобразуем левую часть тождества (ЛЧ), используя формулы преобразования произведения в сумму:

$ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $

$ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $

ЛЧ = $ \sin 5\alpha \sin\alpha + \cos 7\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}(\cos(5\alpha-\alpha) - \cos(5\alpha+\alpha)) + \frac{1}{2}(\cos(7\alpha-\alpha) + \cos(7\alpha+\alpha)) $.

ЛЧ = $ \frac{1}{2}(\cos 4\alpha - \cos 6\alpha) + \frac{1}{2}(\cos 6\alpha + \cos 8\alpha) = \frac{1}{2}(\cos 4\alpha - \cos 6\alpha + \cos 6\alpha + \cos 8\alpha) $.

ЛЧ = $ \frac{1}{2}(\cos 4\alpha + \cos 8\alpha) $.

Теперь преобразуем полученную сумму в произведение, используя формулу $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:

ЛЧ = $ \frac{1}{2}(2\cos\frac{4\alpha+8\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha-4\alpha}{2}) = \cos\frac{12\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha}{2} = \cos 6\alpha \cos 2\alpha $.

Левая часть равна правой части (ПЧ): $ \cos 6\alpha \cos 2\alpha = \cos 6\alpha \cos 2\alpha $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) sin²(α + β) - sin²(α - β) = sin2αsin2β

Преобразуем левую часть тождества (ЛЧ), используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.

ЛЧ = $ (\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta))(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.

Применим формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:

$ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $

$ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

Для первой скобки ($ x = \alpha+\beta, y = \alpha-\beta $):

$ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2} = 2\sin\frac{2\beta}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\sin\beta\cos\alpha $.

Для второй скобки:

$ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\sin\frac{2\alpha}{2}\cos\frac{2\beta}{2} = 2\sin\alpha\cos\beta $.

Перемножим результаты:

ЛЧ = $ (2\sin\beta\cos\alpha)(2\sin\alpha\cos\beta) = 4\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta $.

Сгруппируем и применим формулу двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

ЛЧ = $ (2\sin\alpha\cos\alpha)(2\sin\beta\cos\beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta $.

Левая часть равна правой части: $ \sin 2\alpha \sin 2\beta = \sin 2\alpha \sin 2\beta $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Самостоятельная работа № 29

Уравнение $cos x = b$

1. Решите уравнение:

1) $cos \frac{8x}{5} = 0;$

2) $cos(4 - 3x) = -\frac{1}{2};$

3) $cos \frac{5\pi x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $cos \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{2};$

5) $6cos \left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0.$

2. Найдите все корни уравнения $cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{3\pi}{8} < x < \frac{5\pi}{8}$.

3. Определите количество корней уравнения $cos x = a$ на промежутке $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}\right]$ в зависимости от значения параметра $a$.

1. Решите уравнение:

1)

Дано уравнение $\cos{\frac{8x}{5}} = 0$.

Это частный случай тригонометрического уравнения, решение которого имеет вид:
$\frac{8x}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$, умножив обе части на $\frac{5}{8}$:
$x = \frac{5}{8} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$
$x = \frac{5\pi}{16} + \frac{5\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{16} + \frac{5\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение $\cos{(4 - 3x)} = -\frac{1}{2}$.

Используя свойство чётности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, уравнение можно переписать в виде $\cos{(3x - 4)} = -\frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos a + 2\pi n$.
$3x - 4 = \pm \arccos{\left(-\frac{1}{2}\right)} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos{\left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$3x - 4 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$3x = 4 \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \frac{4}{3} \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{4}{3} \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано уравнение $\cos{\frac{5\pi x}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение:
$\frac{5\pi x}{6} = \pm \arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi}{6}$, то:
$\frac{5\pi x}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
Умножим обе части уравнения на $\frac{6}{5\pi}$, чтобы выразить $x$:
$x = \frac{6}{5\pi} \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right)$
$x = \pm \frac{6\pi}{30\pi} + \frac{12\pi n}{5\pi}$
$x = \pm \frac{1}{5} + \frac{12n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{1}{5} + \frac{12n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано уравнение $\cos{\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)} = \frac{\pi}{2}$.

Область значений функции $y=\cos t$ — это отрезок $[-1, 1]$.
Значение в правой части уравнения $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$.
Так как $\frac{\pi}{2} > 1$, то есть не принадлежит области значений косинуса, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

5)

Дано уравнение $6\cos{\left(4x - \frac{\pi}{4}\right)} - 1 = 0$.

Сначала выразим $\cos{\left(4x - \frac{\pi}{4}\right)}$:
$6\cos{\left(4x - \frac{\pi}{4}\right)} = 1$
$\cos{\left(4x - \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{6}$.

Теперь применим общую формулу для решения уравнения $\cos t = a$:
$4x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos{\frac{1}{6}} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$4x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos{\frac{1}{6}} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{16} \pm \frac{1}{4}\arccos{\frac{1}{6}} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} \pm \frac{1}{4}\arccos{\frac{1}{6}} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2.

Требуется найти все корни уравнения $\cos{\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $\frac{3\pi}{8} < x < \frac{5\pi}{8}$.

Шаг 1: Решение уравнения.
$2x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\arccos{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = \frac{3\pi}{4}$.
$2x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
$2x = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Получаем две серии корней:
1) $2x = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \implies x = \frac{7\pi}{24} + \pi n$.
2) $2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{12} - \frac{9\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{11\pi}{12} + 2\pi n \implies x = -\frac{11\pi}{24} + \pi n$.

Шаг 2: Отбор корней.
Найдем корни, принадлежащие интервалу $\left(\frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}\right)$. Для удобства сравнения приведем дроби к общему знаменателю 24: $\left(\frac{9\pi}{24}, \frac{15\pi}{24}\right)$.

Проверим первую серию корней $x = \frac{7\pi}{24} + \pi n$:
При $n=0$, $x = \frac{7\pi}{24}$. $\frac{7\pi}{24} < \frac{9\pi}{24}$, корень не подходит.
При $n=1$, $x = \frac{7\pi}{24} + \pi = \frac{31\pi}{24}$. $\frac{31\pi}{24} > \frac{15\pi}{24}$, корень не подходит.

Проверим вторую серию корней $x = -\frac{11\pi}{24} + \pi n$:
При $n=1$, $x = -\frac{11\pi}{24} + \pi = \frac{-11\pi + 24\pi}{24} = \frac{13\pi}{24}$.
Проверим, удовлетворяет ли этот корень неравенству: $\frac{9\pi}{24} < \frac{13\pi}{24} < \frac{15\pi}{24}$. Неравенство верное.
При $n=2$, $x = -\frac{11\pi}{24} + 2\pi = \frac{37\pi}{24}$. $\frac{37\pi}{24} > \frac{15\pi}{24}$, корень не подходит.

Таким образом, единственный корень, удовлетворяющий условию, это $\frac{13\pi}{24}$.

Ответ: $\frac{13\pi}{24}$.

3.

Нужно определить количество корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}\right]$ в зависимости от параметра $a$.

Количество корней равно числу точек пересечения графика функции $y = \cos x$ и горизонтальной прямой $y=a$ на данном промежутке.

На промежутке $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}\right]$ функция $y = \cos x$ является строго монотонно убывающей. Найдем ее область значений на этом отрезке. Наибольшее значение достигается в левой точке, а наименьшее — в правой:
$y_{max} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
$y_{min} = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, область значений функции на промежутке $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}\right]$ — это отрезок $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right]$.

Так как функция на этом отрезке строго монотонна, любое значение из своей области значений она принимает ровно один раз. Отсюда делаем вывод о количестве корней:

1. Если значение параметра $a$ попадает в область значений функции, т.е. $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le a \le \frac{1}{2}$, то прямая $y=a$ пересечет график $y=\cos x$ в одной точке на данном промежутке. Уравнение будет иметь один корень.
2. Если значение параметра $a$ находится вне этой области, т.е. $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $a > \frac{1}{2}$, то пересечений с графиком на данном промежутке не будет. Уравнение не будет иметь корней.

Ответ:
при $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $a > \frac{1}{2}$ — корней нет;
при $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le a \le \frac{1}{2}$ — один корень.