Страница 67 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 25

Формулы сложения

1. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos(30^\circ + \alpha) - \sin(60^\circ + \alpha)}{\cos(30^\circ - \alpha) - \sin(60^\circ - \alpha)}$

2) $\frac{\cos 14^\circ \cos 23^\circ - \sin 14^\circ \sin 23^\circ}{\sin 56^\circ \cos 19^\circ - \cos 56^\circ \sin 19^\circ}$

2. Докажите тождество $\sin 2\alpha - \cos 2\alpha \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha$.

3. Найдите $\operatorname{tg} 15^\circ$.

4. Дано: $\cos \alpha = -0,6$, $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Найдите $\sin (60^\circ - \alpha)$.

5. Найдите наибольшее значение выражения $3\sin\alpha + 4\cos\alpha$.

6. Постройте график функции $y = \frac{\operatorname{tg} 5x - \operatorname{tg} 3x}{1 + \operatorname{tg} 5x \operatorname{tg} 3x}$.

1.

1)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения. Заменим синусы на косинусы, используя тождество $\sin x = \cos(90° - x)$.

Для числителя: $\sin(60° + \alpha) = \cos(90° - (60° + \alpha)) = \cos(30° - \alpha)$.

Для знаменателя: $\sin(60° - \alpha) = \cos(90° - (60° - \alpha)) = \cos(30° + \alpha)$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{\cos(30° + \alpha) - \sin(60° + \alpha)}{\cos(30° - \alpha) - \sin(60° - \alpha)} = \frac{\cos(30° + \alpha) - \cos(30° - \alpha)}{\cos(30° - \alpha) - \cos(30° + \alpha)}$

Обозначим $A = \cos(30° + \alpha)$ и $B = \cos(30° - \alpha)$. Тогда выражение примет вид:

$\frac{A - B}{B - A} = -\frac{B - A}{B - A} = -1$

Ответ: $-1$.

2)

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сложения для косинуса и синуса.

Числитель дроби имеет вид $\cos A \cos B - \sin A \sin B$, что соответствует формуле косинуса суммы $\cos(A + B)$.

$\cos 14° \cos 23° - \sin 14° \sin 23° = \cos(14° + 23°) = \cos(37°)$

Знаменатель дроби имеет вид $\sin A \cos B - \cos A \sin B$, что соответствует формуле синуса разности $\sin(A - B)$.

$\sin 56° \cos 19° - \cos 56° \sin 19° = \sin(56° - 19°) = \sin(37°)$

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{\cos(37°)}{\sin(37°)} = \cot(37°)$

Ответ: $\cot(37°)$.

2.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Заменим $\operatorname{tg}\alpha$ на отношение $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$\sin 2\alpha - \cos 2\alpha \operatorname{tg}\alpha = \sin 2\alpha - \cos 2\alpha \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos\alpha$:

$\frac{\sin 2\alpha \cos\alpha - \cos 2\alpha \sin\alpha}{\cos\alpha}$

Числитель полученной дроби соответствует формуле синуса разности $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$, где $A = 2\alpha$ и $B = \alpha$.

$\frac{\sin(2\alpha - \alpha)}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha$

Мы преобразовали левую часть тождества и получили его правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin 2\alpha - \cos 2\alpha \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha$ доказано.

3.

Представим угол $15°$ как разность двух стандартных углов, например, $15° = 45° - 30°$.

Воспользуемся формулой тангенса разности: $\operatorname{tg}(A - B) = \frac{\operatorname{tg}A - \operatorname{tg}B}{1 + \operatorname{tg}A \operatorname{tg}B}$.

$\operatorname{tg} 15° = \operatorname{tg}(45° - 30°) = \frac{\operatorname{tg}45° - \operatorname{tg}30°}{1 + \operatorname{tg}45° \operatorname{tg}30°}$

Подставим известные значения $\operatorname{tg}45° = 1$ и $\operatorname{tg}30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$\operatorname{tg} 15° = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{3}-1)$:

$\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

4.

Дано: $\cos\alpha = -0,6$ и $180° < \alpha < 270°$. Угол $\alpha$ находится в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны.

Сначала найдем $\sin\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.

$\sin\alpha = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8$.

Так как $\alpha$ в третьей четверти, $\sin\alpha$ отрицателен, следовательно $\sin\alpha = -0,8$.

Теперь найдем $\sin(60° - \alpha)$, используя формулу синуса разности:

$\sin(60° - \alpha) = \sin 60° \cos\alpha - \cos 60° \sin\alpha$

Подставим известные значения: $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60° = \frac{1}{2}$, $\cos\alpha = -0,6 = -\frac{3}{5}$, $\sin\alpha = -0,8 = -\frac{4}{5}$.

$\sin(60° - \alpha) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{3}{5}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{10} + \frac{4}{10} = \frac{4 - 3\sqrt{3}}{10}$

Ответ: $\frac{4 - 3\sqrt{3}}{10}$.

5.

Для нахождения наибольшего значения выражения вида $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ используется метод введения вспомогательного угла. Данное выражение можно преобразовать к виду $R\sin(\alpha + \phi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

В нашем случае $a=3$ и $b=4$.

$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Преобразуем выражение:

$3\sin\alpha + 4\cos\alpha = 5\left(\frac{3}{5}\sin\alpha + \frac{4}{5}\cos\alpha\right)$

Пусть $\cos\phi = \frac{3}{5}$ и $\sin\phi = \frac{4}{5}$. Такое $\phi$ существует, так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = 1$.

Тогда выражение примет вид:

$5(\cos\phi\sin\alpha + \sin\phi\cos\alpha) = 5\sin(\alpha + \phi)$

Наибольшее значение функции синуса равно 1. Следовательно, наибольшее значение всего выражения равно $5 \cdot 1 = 5$.

Ответ: $5$.

6.

Сначала упростим выражение для функции. Оно соответствует формуле тангенса разности $\operatorname{tg}(A - B) = \frac{\operatorname{tg}A - \operatorname{tg}B}{1 + \operatorname{tg}A\operatorname{tg}B}$.

$y = \frac{\operatorname{tg}5x - \operatorname{tg}3x}{1 + \operatorname{tg}5x\operatorname{tg}3x} = \operatorname{tg}(5x - 3x) = \operatorname{tg}(2x)$

График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \operatorname{tg}(2x)$, но с учетом области допустимых значений (ОДЗ) исходного выражения.

ОДЗ исходной функции определяется условиями:

1. $\cos(5x) \neq 0 \implies 5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos(3x) \neq 0 \implies 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$.

3. $1 + \operatorname{tg}5x\operatorname{tg}3x \neq 0$. Это условие преобразуется к $\cos(2x) \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, для построения графика нужно:

1. Построить график функции $y = \operatorname{tg}(2x)$. Это график функции $y = \operatorname{tg}x$, сжатый по горизонтали в 2 раза. Его период $T = \frac{\pi}{2}$. Вертикальные асимптоты — это прямые $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. На этом графике необходимо "выколоть" (исключить) точки, абсциссы которых не входят в ОДЗ исходной функции, то есть точки с абсциссами $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$ и $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$ для всех целых $k$ и $m$.

Ответ: Графиком функции является график $y=\operatorname{tg}(2x)$ с периодом $\frac{\pi}{2}$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$, из которого исключены (выколоты) точки с абсциссами $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$, и $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$, $m \in \mathbb{Z}$.

Самостоятельная работа № 26

Формулы приведения

1. Упростите выражение:

1) $sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$; 3) $tg(\alpha - \pi)$;

2) $ctg(\pi + \alpha)$; 4) $cos^2(\pi - \alpha)$.

2. Найдите значение выражения

$sin \frac{7\pi}{4} cos \frac{7\pi}{6} tg(-\frac{5\pi}{3}) ctg \frac{4\pi}{3}$.

3. Упростите выражение:

1) $sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) + cos(\pi + \alpha) + ctg(2\pi - \alpha) + tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$;

2) $\frac{sin(\pi - \beta)cos(\pi + \beta)tg(\pi - \beta)}{sin(\frac{3\pi}{2} - \beta)ctg(\frac{3\pi}{2} + \beta)cos(\frac{\pi}{2} + \beta)}$.

4. Упростите выражение

$tg 15^{\circ} + tg 25^{\circ} + tg 35^{\circ} + ... + tg 165^{\circ}$.

1.

1) Используем формулу приведения для $sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$. Угол $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, тригонометрическая функция синус меняется на кофункцию, то есть косинус.
$sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -cos(\alpha)$
Ответ: $-cos(\alpha)$

2) Используем формулу приведения для $ctg(\pi + \alpha)$. Угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Так как в формуле присутствует $\pi$, функция не меняется.
$ctg(\pi + \alpha) = ctg(\alpha)$
Ответ: $ctg(\alpha)$

3) Используем свойство нечетности и периодичности тангенса.
Способ 1: $tg(\alpha - \pi) = -tg(\pi - \alpha)$. Угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен, поэтому $tg(\pi - \alpha) = -tg(\alpha)$. Следовательно, $tg(\alpha - \pi) = -(-tg(\alpha)) = tg(\alpha)$.
Способ 2: Период тангенса равен $\pi$. $tg(\alpha - \pi) = tg(\alpha - \pi + \pi) = tg(\alpha)$.
Ответ: $tg(\alpha)$

4) Для выражения $cos^2(\pi - \alpha)$ сначала упростим $cos(\pi - \alpha)$. Угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Функция не меняется.
$cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$
Теперь возведем в квадрат:
$cos^2(\pi - \alpha) = (-cos(\alpha))^2 = cos^2(\alpha)$
Ответ: $cos^2(\alpha)$

2. Найдем значение каждого множителя в выражении $sin\frac{7\pi}{4} \cdot cos\frac{7\pi}{6} \cdot tg(-\frac{5\pi}{3}) \cdot ctg\frac{4\pi}{3}$, используя формулы приведения.

$sin\frac{7\pi}{4} = sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = sin(-\frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos\frac{7\pi}{6} = cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$tg(-\frac{5\pi}{3}) = -tg(\frac{5\pi}{3}) = -tg(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -tg(-\frac{\pi}{3}) = -(-tg(\frac{\pi}{3})) = \sqrt{3}$

$ctg\frac{4\pi}{3} = ctg(\pi + \frac{\pi}{3}) = ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь перемножим полученные значения:

$sin\frac{7\pi}{4} \cdot cos\frac{7\pi}{6} \cdot tg(-\frac{5\pi}{3}) \cdot ctg\frac{4\pi}{3} = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{3}{3} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$

3.

1) Упростим каждое слагаемое в выражении $sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) + cos(\pi + \alpha) + ctg(2\pi - \alpha) + tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$:

• $sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = cos(\alpha)$ (II четверть, $sin > 0$, функция меняется)
• $cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$ (III четверть, $cos < 0$, функция не меняется)
• $ctg(2\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$ (IV четверть, $ctg < 0$, функция не меняется)
• $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$ (III четверть, $tg > 0$, функция меняется)

Подставим упрощенные выражения в сумму:

$cos(\alpha) + (-cos(\alpha)) + (-ctg(\alpha)) + ctg(\alpha) = cos(\alpha) - cos(\alpha) - ctg(\alpha) + ctg(\alpha) = 0$

Ответ: $0$

2) Упростим числитель и знаменатель дроби $\frac{sin(\pi - \beta)cos(\pi + \beta)tg(\pi - \beta)}{sin(\frac{3\pi}{2} - \beta)ctg(\frac{3\pi}{2} + \beta)cos(\frac{\pi}{2} + \beta)}$.

Упростим числитель:
$sin(\pi - \beta) = sin(\beta)$
$cos(\pi + \beta) = -cos(\beta)$
$tg(\pi - \beta) = -tg(\beta)$
Произведение в числителе: $sin(\beta) \cdot (-cos(\beta)) \cdot (-tg(\beta)) = sin(\beta)cos(\beta)tg(\beta) = sin(\beta)cos(\beta)\frac{sin(\beta)}{cos(\beta)} = sin^2(\beta)$

Упростим знаменатель:
$sin(\frac{3\pi}{2} - \beta) = -cos(\beta)$
$ctg(\frac{3\pi}{2} + \beta) = -tg(\beta)$
$cos(\frac{\pi}{2} + \beta) = -sin(\beta)$
Произведение в знаменателе: $(-cos(\beta)) \cdot (-tg(\beta)) \cdot (-sin(\beta)) = -cos(\beta)tg(\beta)sin(\beta) = -cos(\beta)\frac{sin(\beta)}{cos(\beta)}sin(\beta) = -sin^2(\beta)$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{sin^2(\beta)}{-sin^2(\beta)} = -1$

Ответ: $-1$

4. Рассмотрим сумму $S = tg 15^\circ + tg 25^\circ + tg 35^\circ + ... + tg 165^\circ$.

Углы в данной сумме образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 15^\circ$ и разностью $d = 10^\circ$. Найдем количество слагаемых:
$165^\circ = 15^\circ + (n-1)10^\circ \implies 150 = 10(n-1) \implies n = 16$.

Используем формулу приведения $tg(180^\circ - x) = -tg(x)$. Сгруппируем слагаемые попарно: первое с последним, второе с предпоследним и так далее. Всего будет $16/2=8$ пар.

$tg 15^\circ + tg 165^\circ = tg 15^\circ + tg(180^\circ - 15^\circ) = tg 15^\circ - tg 15^\circ = 0$

$tg 25^\circ + tg 155^\circ = tg 25^\circ + tg(180^\circ - 25^\circ) = tg 25^\circ - tg 25^\circ = 0$

... и так далее для всех пар.

$tg 85^\circ + tg 95^\circ = tg 85^\circ + tg(180^\circ - 85^\circ) = tg 85^\circ - tg 85^\circ = 0$

Так как сумма каждой пары слагаемых равна нулю, то и вся сумма равна нулю.

Ответ: $0$