Страница 65 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Свойства и графики функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$

1. На промежутке $\left[-\frac{\pi}{6} ; \frac{11 \pi}{6}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \sin x$;

2) значения аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает наибольшее и наименьшее значения.

2. Сравните:

1) $\sin \frac{17 \pi}{8}$ и $\sin \frac{19 \pi}{9}$;

2) $\cos (-3)$ и $\cos (-2)$.

3. Возможно ли равенство:

1) $\cos \alpha = \sqrt{2} \cos 47^{\circ}$;

2) $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} \cos 29^{\circ}$?

4. Постройте график функции:

1) $y = 3 \sin \left(2x - \frac{2 \pi}{3}\right)$;

2) $y = \cos x + \left(\sqrt{\cos x}\right)^2$.

1. На промежутке $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \sin x$;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Решим уравнение $\sin x = 0$.

Общее решение этого уравнения: $x = k\pi$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь выберем те значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]$.

Для этого решим неравенство: $-\frac{\pi}{6} \le k\pi \le \frac{11\pi}{6}$.

Разделив все части неравенства на $\pi$, получим: $-\frac{1}{6} \le k \le \frac{11}{6}$.

Целые числа $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k=0$ и $k=1$.

При $k=0$ получаем $x = 0 \cdot \pi = 0$.

При $k=1$ получаем $x = 1 \cdot \pi = \pi$.

Оба значения, $0$ и $\pi$, входят в заданный промежуток.

Ответ: $x=0$, $x=\pi$.

2) значения аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает наибольшее и наименьшее значения.

Функция $y = \sin x$ принимает наибольшее значение, равное 1, и наименьшее, равное -1.

Найдем, при каких $x$ из промежутка $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]$ достигаются эти значения.

Наибольшее значение: $\sin x = 1$. Общее решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство: $-\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi \le \frac{11\pi}{6}$.

Разделим на $\pi$: $-\frac{1}{6} \le \frac{1}{2} + 2k \le \frac{11}{6}$.

Вычтем $\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{6} - \frac{3}{6} \le 2k \le \frac{11}{6} - \frac{3}{6} \implies -\frac{4}{6} \le 2k \le \frac{8}{6} \implies -\frac{2}{3} \le 2k \le \frac{4}{3}$.

Разделим на 2: $-\frac{1}{3} \le k \le \frac{2}{3}$. Единственное целое $k$ в этом интервале – это $k=0$.

При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$.

Наименьшее значение: $\sin x = -1$. Общее решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство: $-\frac{\pi}{6} \le -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \le \frac{11\pi}{6}$.

Разделим на $\pi$: $-\frac{1}{6} \le -\frac{1}{2} + 2k \le \frac{11}{6}$.

Прибавим $\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{6} + \frac{3}{6} \le 2k \le \frac{11}{6} + \frac{3}{6} \implies \frac{2}{6} \le 2k \le \frac{14}{6} \implies \frac{1}{3} \le 2k \le \frac{7}{3}$.

Разделим на 2: $\frac{1}{6} \le k \le \frac{7}{6}$. Единственное целое $k$ в этом интервале – это $k=1$.

При $k=1$ получаем $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: Наибольшее значение функция принимает при $x=\frac{\pi}{2}$, наименьшее – при $x=\frac{3\pi}{2}$.

2. Сравните:

1) $\sin \frac{17\pi}{8}$ и $\sin \frac{19\pi}{9}$;

Упростим аргументы функций, используя периодичность синуса ($T=2\pi$):

$\sin \frac{17\pi}{8} = \sin(\frac{16\pi+\pi}{8}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{8}) = \sin \frac{\pi}{8}$.

$\sin \frac{19\pi}{9} = \sin(\frac{18\pi+\pi}{9}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{9}) = \sin \frac{\pi}{9}$.

Теперь нужно сравнить $\sin \frac{\pi}{8}$ и $\sin \frac{\pi}{9}$.

Оба угла, $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{9}$, находятся в первой четверти, то есть в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, где функция $y = \sin x$ возрастает.

Сравним аргументы: так как $8 < 9$, то $\frac{1}{8} > \frac{1}{9}$, следовательно, $\frac{\pi}{8} > \frac{\pi}{9}$.

Поскольку функция синуса возрастает на этом интервале, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Таким образом, $\sin \frac{\pi}{8} > \sin \frac{\pi}{9}$.

Ответ: $\sin \frac{17\pi}{8} > \sin \frac{19\pi}{9}$.

2) $\cos(-3)$ и $\cos(-2)$.

Функция косинуса является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$. Поэтому нам нужно сравнить $\cos(3)$ и $\cos(2)$.

Аргументы 2 и 3 (радианы) находятся в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$.

На интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ функция $y = \cos x$ убывает.

Так как $2 < 3$, то из-за убывания функции косинуса на этом интервале следует, что $\cos(2) > \cos(3)$.

Следовательно, $\cos(-2) > \cos(-3)$.

Ответ: $\cos(-3) < \cos(-2)$.

3. Возможно ли равенство:

1) $\cos \alpha = \sqrt{2} \cos 47^\circ$;

Область значений функции $y = \cos \alpha$ – это отрезок $[-1, 1]$. Равенство возможно, если значение выражения $\sqrt{2} \cos 47^\circ$ принадлежит этому отрезку.

Сравним $\cos 47^\circ$ с известным значением. Мы знаем, что $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На отрезке $[0^\circ, 90^\circ]$ функция косинуса убывает. Так как $47^\circ > 45^\circ$, то $\cos 47^\circ < \cos 45^\circ$.

$\cos 47^\circ < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Умножим обе части неравенства на $\sqrt{2}$: $\sqrt{2} \cos 47^\circ < \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$.

Так как $47^\circ$ – угол первой четверти, $\cos 47^\circ > 0$, следовательно $0 < \sqrt{2} \cos 47^\circ < 1$.

Поскольку значение $\sqrt{2} \cos 47^\circ$ находится в интервале $(0, 1)$, который является частью отрезка $[-1, 1]$, то такое значение косинуса возможно.

Ответ: Да, возможно.

2) $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} \cos 29^\circ$?

Область значений функции $y = \sin \alpha$ – это отрезок $[-1, 1]$. Равенство возможно, если значение выражения $\frac{2}{\sqrt{3}} \cos 29^\circ$ принадлежит этому отрезку.

Сравним $\cos 29^\circ$ с известным значением. Мы знаем, что $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

На отрезке $[0^\circ, 90^\circ]$ функция косинуса убывает. Так как $29^\circ < 30^\circ$, то $\cos 29^\circ > \cos 30^\circ$.

$\cos 29^\circ > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Умножим обе части неравенства на $\frac{2}{\sqrt{3}}$ (это положительное число): $\frac{2}{\sqrt{3}} \cos 29^\circ > \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.

Значение выражения $\frac{2}{\sqrt{3}} \cos 29^\circ$ больше 1, а значит, не входит в область значений функции синуса.

Ответ: Нет, невозможно.

4. Постройте график функции:

1) $y = 3\sin(2x - \frac{2\pi}{3})$;

График данной функции можно построить путем преобразований графика $y=\sin x$.

Преобразуем функцию к виду $y = A \sin(B(x-C)) + D$: $y = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right)$.

1. Начинаем с графика $y = \sin x$.

2. Сжимаем его по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза, получаем график $y = \sin(2x)$. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Растягиваем полученный график по вертикали (вдоль оси Oy) в 3 раза, получаем $y = 3\sin(2x)$. Амплитуда становится равной 3, а область значений $[-3, 3]$.

4. Сдвигаем последний график по горизонтали (вдоль оси Ox) вправо на $\frac{\pi}{3}$, получаем искомый график $y = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right)$.

Ответ: График функции является синусоидой, полученной из графика $y=\sin x$ путем сжатия по горизонтали в 2 раза, растяжения по вертикали в 3 раза и сдвига вправо на $\frac{\pi}{3}$. Амплитуда равна 3, период равен $\pi$.

2) $y = \cos x + (\sqrt{\cos x})^2$.

1. Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $\cos x \ge 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих отрезкам вида $[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. На этой области определения выражение $(\sqrt{\cos x})^2$ равно $\cos x$. Таким образом, функция упрощается до $y = \cos x + \cos x = 2\cos x$.

3. Следовательно, график искомой функции совпадает с графиком функции $y = 2\cos x$ на тех участках, где $\cos x \ge 0$.

График $y = 2\cos x$ – это косинусоида с амплитудой 2 и периодом $2\pi$. Мы должны нарисовать только те части этой косинусоиды, которые лежат на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$. В результате график будет состоять из набора отдельных "арок", расположенных над осью Ox (или касающихся ее).

Ответ: График функции представляет собой части графика $y = 2\cos x$, для которых выполняется условие $\cos x \ge 0$. Он состоит из арок косинусоиды на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$, $k \in \mathbb{Z}$.