Страница 61 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Степень с рациональным показателем и её свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $16^{\frac{1}{2}};$

2) $8^{\frac{2}{3}};$

3) $(11\frac{1}{9})^{2,5}$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = (3 - x)^{2,8};$

2) $y = (2x^2 - 5x + 2)^{\frac{1}{6}}$.

3. Упростите выражение:

1) $a^{-0,8} \cdot a^{1,3};$

2) $a^{\frac{7}{9}} : a^{\frac{5}{6}};$

3) $(a^{-0,4})^8;$

4) $(a^3b^{\frac{1}{15}})^{\frac{4}{11}};$

5) $(\sqrt[3]{a^{-2}})^{\frac{3}{8}} \cdot (a^{-\frac{5}{6}})^{\frac{3}{10}}.$

4. Постройте график функции:

$y = \left((x+8)^{\frac{1}{11}}\right)^{-11}.$

5. Упростите выражение:

$\frac{a^4 - 3,2}{a^{\frac{1}{2}} - 4a^{\frac{1}{4}}} + \frac{a^{\frac{1}{4}} - 5}{5a^{\frac{1}{4}} - 20} - \frac{a^{\frac{1}{4}} + 4}{5a^{\frac{1}{4}}}.$

1. Найдите значение выражения:

1) $16^{\frac{1}{2}}$

Степень с показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня.

$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: 4.

2) $8^{\frac{2}{3}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$. Выражение можно представить как $(\sqrt[3]{8})^2$.

$8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Ответ: 4.

3) $(11\frac{1}{9})^{2,5}$

Сначала преобразуем основание и показатель степени в удобный для вычислений вид. Смешанное число в неправильную дробь: $11\frac{1}{9} = \frac{11 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{100}{9}$. Десятичную дробь в обыкновенную: $2,5 = \frac{5}{2}$.

Теперь вычислим значение выражения:

$( \frac{100}{9} )^{\frac{5}{2}} = ( (\frac{10}{3})^2 )^{\frac{5}{2}} = (\frac{10}{3})^{2 \cdot \frac{5}{2}} = (\frac{10}{3})^5 = \frac{10^5}{3^5} = \frac{100000}{243}$.

Ответ: $\frac{100000}{243}$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = (3 - x)^{2,8}$

Показатель степени $2,8 = \frac{14}{5}$ является положительным нецелым числом. Для таких степеней основание должно быть неотрицательным.

$3 - x \ge 0$

$3 \ge x$, или $x \le 3$.

Таким образом, область определения функции - это промежуток $(-\infty, 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3]$.

2) $y = (2x^2 - 5x + 2)^{\frac{1}{6}}$

Показатель степени $\frac{1}{6}$ является положительным нецелым числом, поэтому основание степени должно быть неотрицательным.

$2x^2 - 5x + 2 \ge 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен (ветви параболы направлены вверх), неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

$x \le \frac{1}{2}$ или $x \ge 2$.

Область определения функции: $(-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, +\infty)$.

3. Упростите выражение:

1) $a^{-0,8} \cdot a^{1,3}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$a^{-0,8} \cdot a^{1,3} = a^{-0,8 + 1,3} = a^{0,5}$.

Ответ: $a^{0,5}$.

2) $a^{\frac{7}{9}} : a^{\frac{5}{6}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$a^{\frac{7}{9}} : a^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{7}{9} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{14}{18} - \frac{15}{18}} = a^{-\frac{1}{18}}$.

Ответ: $a^{-\frac{1}{18}}$.

3) $(a^{-0,4})^8$

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$(a^{-0,4})^8 = a^{-0,4 \cdot 8} = a^{-3,2}$.

Ответ: $a^{-3,2}$.

4) $(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{4}{15}})^{\frac{6}{11}}$

Запись показателя степени в задании неоднозначна. Наиболее вероятной интерпретацией является дробный показатель $\frac{6}{11}$.

При возведении произведения в степень, каждый множитель возводится в эту степень. При возведении степени в степень показатели перемножаются.

$(a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{4}{15}})^{\frac{6}{11}} = (a^{\frac{1}{3}})^{\frac{6}{11}} \cdot (b^{\frac{4}{15}})^{\frac{6}{11}} = a^{\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{11}} \cdot b^{\frac{4}{15} \cdot \frac{6}{11}} = a^{\frac{6}{33}} \cdot b^{\frac{24}{165}}$.

Сократим дроби в показателях:

$a^{\frac{2}{11}} \cdot b^{\frac{8}{55}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{11}} b^{\frac{8}{55}}$.

5) $(\sqrt[3]{a^{-2}})^{\frac{3}{8}} \cdot (a^{\frac{5}{6}})^{\frac{3}{10}}$

Преобразуем корень в степень с рациональным показателем и воспользуемся свойствами степеней:

$\sqrt[3]{a^{-2}} = (a^{-2})^{\frac{1}{3}} = a^{-\frac{2}{3}}$.

Подставим это в исходное выражение:

$(a^{-\frac{2}{3}})^{\frac{3}{8}} \cdot (a^{\frac{5}{6}})^{\frac{3}{10}} = a^{-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}} \cdot a^{\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}} = a^{-\frac{6}{24}} \cdot a^{\frac{15}{60}}$.

Сократим дроби в показателях:

$a^{-\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = a^0 = 1$.

Ответ: 1.

4. Постройте график функции $y = \left((x+8)^{\frac{1}{11}}\right)^{-11}$

Сначала упростим выражение для функции, обращая внимание на область определения.

$y = ((x+8)^{\frac{1}{11}})^{-11} = (x+8)^{\frac{1}{11} \cdot (-11)} = (x+8)^{-1} = \frac{1}{x+8}$.

Область определения исходной функции. Внутренняя функция $(x+8)^{\frac{1}{11}}$ (корень 11-й степени) определена для любых действительных значений $x$. Однако, чтобы возвести ее в отрицательную степень -11, необходимо, чтобы основание не было равно нулю.

$(x+8)^{\frac{1}{11}} \neq 0$, что означает $x+8 \neq 0$, то есть $x \neq -8$.

Таким образом, функция $y = \frac{1}{x+8}$ определена для всех $x$, кроме $x=-8$.

График этой функции — гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 8 единиц влево вдоль оси Ox.

Свойства и построение графика:

1. Вертикальная асимптота: прямая $x = -8$.

2. Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (ось Ox).

3. График расположен в квадрантах, аналогичных I и III, относительно своих асимптот.

4. Для построения можно найти несколько точек: при $x = -7$, $y = 1$; при $x = -9$, $y = -1$; при $x = -6$, $y = 0.5$; при $x = -10$, $y = -0.5$.

Ответ: График функции является гиперболой $y = \frac{1}{x+8}$ с вертикальной асимптотой $x=-8$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

5. Упростите выражение $\frac{a^{\frac{1}{4}} - 3,2}{a^{\frac{1}{2}} - 4a^{\frac{1}{4}}} + \frac{a^{\frac{1}{4}} - 5}{5a^{\frac{1}{4}} - 20} - \frac{a^{\frac{1}{4}} + 4}{5a^{\frac{1}{4}}}$

Для упрощения введем замену: пусть $x = a^{\frac{1}{4}}$. Тогда $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 = x^2$.

Выражение примет вид:

$\frac{x - 3,2}{x^2 - 4x} + \frac{x - 5}{5x - 20} - \frac{x + 4}{5x}$

Разложим знаменатели на множители:

$\frac{x - 3,2}{x(x - 4)} + \frac{x - 5}{5(x - 4)} - \frac{x + 4}{5x}$

Приведем дроби к общему знаменателю $5x(x - 4)$:

$\frac{5(x - 3,2)}{5x(x - 4)} + \frac{x(x - 5)}{5x(x - 4)} - \frac{(x + 4)(x - 4)}{5x(x - 4)}$

Раскроем скобки в числителях и объединим их в одну дробь:

$\frac{(5x - 16) + (x^2 - 5x) - (x^2 - 16)}{5x(x - 4)}$

Упростим числитель:

$5x - 16 + x^2 - 5x - x^2 + 16 = (5x - 5x) + (x^2 - x^2) + (-16 + 16) = 0$

Таким образом, все выражение равно 0, при условии, что знаменатель не равен нулю (т.е. $a>0$ и $a \neq 256$).

Ответ: 0.

Самостоятельная работа № 15

Иррациональные уравнения

Решите уравнение:

1) $\sqrt[16]{x+4} = \sqrt[16]{x^2+5x-1}$;

2) $\sqrt{5x+1} = 1-x$;

3) $(x+1)\sqrt{x^2+x-2} = 2x+2$;

4) $\sqrt{x+5} - \sqrt{x-3} = 2$;

5) $\sqrt{x+6+2\sqrt{x+5}} + \sqrt{x+6-2\sqrt{x+5}} = 6$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt[16]{x+4} = \sqrt[16]{x^2+5x-1}$.
Так как показатель корня — четное число (16), уравнение равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны и неотрицательны.
$x+4 = x^2+5x-1$, при условии $x+4 \geq 0$.
Решим квадратное уравнение:
$x^2+5x-1-x-4 = 0$
$x^2+4x-5 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.
Теперь проверим выполнение условия неотрицательности подкоренного выражения: $x+4 \geq 0$, то есть $x \geq -4$.
Проверим корень $x_1 = 1$:
$1 \geq -4$ (верно).
Проверим корень $x_2 = -5$:
$-5 \geq -4$ (неверно).
Таким образом, корень $x=-5$ является посторонним. Единственное решение — $x=1$.
Ответ: $1$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{5x+1} = 1-x$.
Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:
$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \geq 0 \end{cases}$
В данном случае:
$\begin{cases} 5x+1 = (1-x)^2 \\ 1-x \geq 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$5x+1 = 1-2x+x^2$
$x^2 - 7x = 0$
$x(x-7) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 7$.
Теперь проверим выполнение неравенства $1-x \geq 0$, то есть $x \leq 1$.
Проверим корень $x_1 = 0$:
$0 \leq 1$ (верно).
Проверим корень $x_2 = 7$:
$7 \leq 1$ (неверно).
Следовательно, корень $x=7$ является посторонним. Единственное решение — $x=0$.
Ответ: $0$.

3) Исходное уравнение: $(x+1)\sqrt{x^2+x-2} = 2x+2$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2+x-2 \geq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2+x-2=0$: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.
Теперь решим уравнение:
$(x+1)\sqrt{x^2+x-2} = 2(x+1)$
$(x+1)\sqrt{x^2+x-2} - 2(x+1) = 0$
$(x+1)(\sqrt{x^2+x-2} - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
Случай 1: $x+1=0 \implies x=-1$.
Этот корень не входит в ОДЗ, так как $-1$ не принадлежит $(-\infty, -2] \cup [1, \infty)$. Значит, $x=-1$ не является решением.
Случай 2: $\sqrt{x^2+x-2} - 2 = 0 \implies \sqrt{x^2+x-2} = 2$.
Возведем обе части в квадрат:
$x^2+x-2 = 4$
$x^2+x-6 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ:
$x_1=2 \in [1, \infty)$ (входит).
$x_2=-3 \in (-\infty, -2]$ (входит).
Оба корня являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $-3; 2$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt{x+5} - \sqrt{x-3} = 2$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x+5 \geq 0 \\ x-3 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -5 \\ x \geq 3 \end{cases} \implies x \geq 3$.
Перенесем один из корней в правую часть, чтобы избавиться от знака "минус" перед корнем:
$\sqrt{x+5} = 2 + \sqrt{x-3}$
Так как обе части уравнения неотрицательны (при $x \geq 3$), возведение в квадрат является равносильным преобразованием:
$(\sqrt{x+5})^2 = (2 + \sqrt{x-3})^2$
$x+5 = 4 + 4\sqrt{x-3} + (x-3)$
$x+5 = x+1 + 4\sqrt{x-3}$
$4 = 4\sqrt{x-3}$
$1 = \sqrt{x-3}$
Снова возведем обе части в квадрат:
$1^2 = (\sqrt{x-3})^2$
$1 = x-3$
$x=4$.
Найденный корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \geq 3$).
Ответ: $4$.

5) Исходное уравнение: $\sqrt{x+6+2\sqrt{x+5}} + \sqrt{x+6-2\sqrt{x+5}} = 6$.
Заметим, что выражения под внешними корнями можно представить в виде полных квадратов, используя формулу $(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab+b^2$.
Представим $x+6$ как $(x+5)+1$.
Первое подкоренное выражение: $x+6+2\sqrt{x+5} = (x+5) + 2\sqrt{x+5} + 1 = (\sqrt{x+5}+1)^2$.
Второе подкоренное выражение: $x+6-2\sqrt{x+5} = (x+5) - 2\sqrt{x+5} + 1 = (\sqrt{x+5}-1)^2$.
ОДЗ: $x+5 \geq 0 \implies x \geq -5$.
Подставим полные квадраты в исходное уравнение:
$\sqrt{(\sqrt{x+5}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x+5}-1)^2} = 6$
Используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем:
$|\sqrt{x+5}+1| + |\sqrt{x+5}-1| = 6$
Так как $\sqrt{x+5} \geq 0$, то $\sqrt{x+5}+1 > 0$, поэтому $|\sqrt{x+5}+1| = \sqrt{x+5}+1$.
Уравнение упрощается до: $\sqrt{x+5}+1 + |\sqrt{x+5}-1| = 6$.
Рассмотрим два случая для раскрытия оставшегося модуля.
Случай 1: $\sqrt{x+5}-1 \geq 0 \implies \sqrt{x+5} \geq 1 \implies x+5 \geq 1 \implies x \geq -4$.
В этом случае $|\sqrt{x+5}-1| = \sqrt{x+5}-1$.
$(\sqrt{x+5}+1) + (\sqrt{x+5}-1) = 6$
$2\sqrt{x+5} = 6$
$\sqrt{x+5} = 3$
$x+5 = 9 \implies x=4$.
Этот корень удовлетворяет условию $x \geq -4$.
Случай 2: $\sqrt{x+5}-1 < 0 \implies \sqrt{x+5} < 1 \implies x+5 < 1 \implies x < -4$.
С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается для $-5 \leq x < -4$.
В этом случае $|\sqrt{x+5}-1| = -(\sqrt{x+5}-1) = 1-\sqrt{x+5}$.
$(\sqrt{x+5}+1) + (1-\sqrt{x+5}) = 6$
$2 = 6$.
Это неверное равенство, следовательно, в этом интервале решений нет.
Единственным решением является $x=4$.
Ответ: $4$.