Страница 54 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 1

Множества. Операции над множествами

1. Какие из следующих утверждений верны:

1) ${ \{8\} \subset \{4, 6, 8\} }$;

2) ${ 8 \subset \{4, 6, 8\} }$;

3) ${ 4 \in \{4, 6, 8\} }$;

4) ${ \{4\} \in \{4, 6, 8\} }$;

5) ${ \emptyset \subset \{4, 6, 8\} }$;

6) ${ \{\emptyset\} \in \{4, 6, 8\} }$?

2. Какие из следующих утверждений верны:

1) ${ \{0\} \cup \{0, 9\} = \{\{0, 9\}\} }$;

2) ${ \{0\} \cup \{0, 9\} = \{0, 9\} }$;

3) ${ \{0\} \cap \{0, 9\} = \{9\} }$;

4) ${ \{0\} \cap \{0, 9\} = \{0\} }$?

3. Даны множества ${ A = \{x | x^2 - 36 = 0\} }$ и ${ B = \{x | (x - 6)(x + 10) = 0\} }$. Найдите:

1) ${ A \cap B }$;

2) ${ A \cup B }$;

3) ${ A \setminus B }$;

4) ${ B \setminus A }$.

4. На диаграмме Эйлера (рис. 15) изображены множества ${A, B}$ и ${C}$. Заштрихуйте множество:

1) ${ (C \cup B) \cap A }$;

2) ${ (A \cup C) \setminus B }$;

3) ${ (B \setminus A) \cap C }$.

Рис. 15

1.

Проанализируем каждое утверждение:

1) $\{8\} \subset \{4, 6, 8\}$ — Верно. Множество, содержащее элемент 8, является подмножеством множества $\{4, 6, 8\}$, так как все элементы первого множества (а именно, число 8) содержатся во втором.

2) $8 \subset \{4, 6, 8\}$ — Неверно. Символ $\subset$ используется для обозначения отношения между множествами (подмножество). Число 8 является элементом, а не множеством. Правильная запись была бы $8 \in \{4, 6, 8\}$.

3) $4 \in \{4, 6, 8\}$ — Верно. Число 4 является элементом множества $\{4, 6, 8\}$.

4) $\{4\} \in \{4, 6, 8\}$ — Неверно. Элементами множества $\{4, 6, 8\}$ являются числа 4, 6 и 8, но не множество $\{4\}$.

5) $\emptyset \subset \{4, 6, 8\}$ — Верно. Пустое множество ($\emptyset$) является подмножеством любого множества.

6) $\{\emptyset\} \in \{4, 6, 8\}$ — Неверно. Множество, содержащее пустое множество, не является элементом множества $\{4, 6, 8\}$.

Ответ: Верными являются утверждения 1, 3, 5.

2.

Проанализируем каждое утверждение:

1) $\{0\} \cup \{0, 9\} = \{\{0, 9\}\}$ — Неверно. Объединение множеств $\{0\}$ и $\{0, 9\}$ — это множество, содержащее все элементы из обоих множеств без повторений, то есть $\{0, 9\}$. Выражение справа — это множество, содержащее другое множество, что не является результатом объединения.

2) $\{0\} \cup \{0, 9\} = \{0, 9\}$ — Верно. Объединение этих двух множеств дает множество, состоящее из уникальных элементов обоих множеств, что и есть $\{0, 9\}$.

3) $\{0\} \cap \{0, 9\} = \{9\}$ — Неверно. Пересечение множеств — это множество, содержащее только общие для них элементы. Общим элементом является 0. Таким образом, пересечение равно $\{0\}$.

4) $\{0\} \cap \{0, 9\} = \{0\}$ — Верно. Единственный общий элемент для обоих множеств — это 0.

Ответ: Верными являются утверждения 2, 4.

3.

Сначала найдем элементы множеств A и B.

Для множества A: $A = \{x | x^2 - 36 = 0\}$.
Решаем уравнение: $x^2 = 36 \implies x = \sqrt{36}$ или $x = -\sqrt{36}$.
Получаем $x = 6$ и $x = -6$.
Таким образом, $A = \{-6, 6\}$.

Для множества B: $B = \{x | (x - 6)(x + 10) = 0\}$.
Решаем уравнение: $x - 6 = 0$ или $x + 10 = 0$.
Получаем $x = 6$ и $x = -10$.
Таким образом, $B = \{-10, 6\}$.

Теперь выполним операции над множествами:

1) $A \cap B$ (Пересечение A и B)
Это множество элементов, которые принадлежат и A, и B. Сравнивая $A = \{-6, 6\}$ и $B = \{-10, 6\}$, видим, что общий элемент — это 6.
Ответ: $A \cap B = \{6\}$.

2) $A \cup B$ (Объединение A и B)
Это множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств. Объединяем все элементы из A и B без повторений.
Ответ: $A \cup B = \{-10, -6, 6\}$.

3) $A \setminus B$ (Разность A и B)
Это множество элементов, которые принадлежат A, но не принадлежат B. Из $A = \{-6, 6\}$ удаляем элементы, которые есть в $B = \{-10, 6\}$. Удаляем 6.
Ответ: $A \setminus B = \{-6\}$.

4) $B \setminus A$ (Разность B и A)
Это множество элементов, которые принадлежат B, но не принадлежат A. Из $B = \{-10, 6\}$ удаляем элементы, которые есть в $A = \{-6, 6\}$. Удаляем 6.
Ответ: $B \setminus A = \{-10\}$.

4.

1) $(C \cup B) \cap A$
Выражение означает пересечение множества A с объединением множеств C и B. Сначала находим объединение B и C (вся область, занимаемая кругами B и C). Затем из этой области выбираем ту часть, которая также находится внутри круга A. В результате будет заштрихована вся область множества A, которая пересекается с B или C.
Ответ: Заштриховать нужно область, состоящую из пересечения $A \cap B$ и пересечения $A \cap C$ (включая центральную область $A \cap B \cap C$).

2) $(A \cup C) \setminus B$
Выражение означает разность между объединением множеств A и C и множеством B. Сначала находим объединение A и C (вся область, занимаемая кругами A и C). Затем из этой объединенной области нужно "вырезать" (исключить) все, что принадлежит множеству B.
Ответ: Заштриховать нужно ту часть круга A, которая не пересекается с B, ту часть круга C, которая не пересекается с B, и ту часть их общего пересечения ($A \cap C$), которая не пересекается с B.

3) $(B \setminus A) \cap C$
Выражение означает пересечение множества C с разностью множеств B и A. Сначала находим разность $B \setminus A$ (область круга B, которая не пересекается с кругом A). Затем из полученной области нужно выбрать ту часть, которая также принадлежит множеству C.
Ответ: Заштриховать нужно область пересечения B и C, из которой исключена центральная область пересечения всех трех множеств ($A \cap B \cap C$).

Самостоятельная работа № 2

Конечные и бесконечные множества

1. Докажите, что множество точек сторон квадрата и множество точек вписанной в этот квадрат окружности равномощны.

2. Каких натуральных чисел больше: шестизначных чисел или чётных семизначных чисел, кратных числу 5?

3. В 10 классе 25 учеников. Все ученики этого класса приняли участие в школьной олимпиаде по математике или по физике. Известно, что в обеих олимпиадах приняли участие 10 учеников. Докажите, что хотя бы в одной из олимпиад приняли участие не меньше 18 учеников этого класса.

4. Докажите, что множество натуральных чисел, кратных числу 8, равномощно множеству натуральных чисел, кратных числу 3.

Чтобы доказать, что два множества равномощны, необходимо установить между ними биективное (взаимно однозначное) соответствие. Пусть $A$ — множество точек на сторонах квадрата, а $B$ — множество точек на вписанной в него окружности.

Рассмотрим квадрат и вписанную в него окружность. Поместим центр квадрата и окружности в начало координат $O(0,0)$. Для любой точки $P$, принадлежащей множеству $A$ (на стороне квадрата), мы можем провести луч, начинающийся в центре $O$ и проходящий через точку $P$. Этот луч пересечёт окружность ровно в одной точке $Q$.

Таким образом, мы можем определить отображение $f: A \to B$, которое каждой точке $P$ на квадрате ставит в соответствие точку $Q$ на окружности, лежащую на луче $OP$.

Докажем, что это отображение является биекцией:

1. Инъективность (взаимная однозначность): Если мы возьмём две различные точки $P_1$ и $P_2$ на сторонах квадрата, то лучи $OP_1$ и $OP_2$ будут различны. Следовательно, они пересекут окружность в двух разных точках $Q_1$ и $Q_2$. Таким образом, разным точкам на квадрате соответствуют разные точки на окружности.
2. Сюръективность (отображение "на"): Для любой точки $Q$ на окружности мы можем провести луч $OQ$. Этот луч обязательно пересечёт стороны квадрата в некоторой точке $P$. Это означает, что для любой точки на окружности найдётся соответствующая ей точка на квадрате.

Поскольку мы построили биективное отображение между множеством точек сторон квадрата и множеством точек вписанной окружности, эти два множества равномощны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Для ответа на вопрос сравним количество чисел в каждой из двух групп.

1. Количество шестизначных натуральных чисел.

Шестизначные числа — это числа от 100 000 до 999 999 включительно. Их общее количество можно найти так: $999\,999 - 100\,000 + 1 = 900\,000$.
Или с помощью комбинаторики: первая цифра может быть любой от 1 до 9 (9 вариантов), а каждая из следующих пяти цифр — любой от 0 до 9 (10 вариантов). Всего чисел: $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^5 = 900\,000$.

2. Количество чётных семизначных чисел, кратных числу 5.

Число кратно 5, если его последняя цифра 0 или 5. Число является чётным, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8. Чтобы число было одновременно и чётным, и кратным 5, его последняя цифра должна быть 0.

Следовательно, нам нужно посчитать количество семизначных чисел, которые заканчиваются на 0.
Первая цифра не может быть нулём, значит, для неё есть 9 вариантов (от 1 до 9).
Следующие пять цифр (со второй по шестую) могут быть любыми от 0 до 9 (по 10 вариантов на каждую позицию).
Последняя, седьмая, цифра должна быть 0 (1 вариант).
Всего таких чисел: $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 1 = 9 \times 10^5 = 900\,000$.

Сравнивая результаты, получаем, что количество шестизначных чисел (900 000) равно количеству чётных семизначных чисел, кратных 5 (900 000).

Ответ: Количество этих чисел одинаково.

Пусть $M$ — множество учеников, участвовавших в олимпиаде по математике, а $P$ — множество учеников, участвовавших в олимпиаде по физике. Обозначим количество учеников в этих множествах как $|M|$ и $|P|$ соответственно.

По условию, в классе 25 учеников, и все приняли участие хотя бы в одной олимпиаде. Это означает, что объединение множеств $M$ и $P$ содержит 25 учеников: $|M \cup P| = 25$.

Также известно, что в обеих олимпиадах приняли участие 10 учеников. Это пересечение множеств: $|M \cap P| = 10$.

Используем формулу включений-исключений для двух множеств: $|M \cup P| = |M| + |P| - |M \cap P|$

Подставим известные значения: $25 = |M| + |P| - 10$

Отсюда найдём суммарное количество участников обеих олимпиад: $|M| + |P| = 25 + 10 = 35$

Нам нужно доказать, что хотя бы в одном из множеств ($M$ или $P$) не менее 18 учеников, то есть $|M| \ge 18$ или $|P| \ge 18$.

Докажем это методом от противного. Предположим, что в каждой из олимпиад участвовало меньше 18 учеников. То есть: $|M| \le 17$ и $|P| \le 17$.

В этом случае максимальная возможная сумма участников была бы: $|M| + |P| \le 17 + 17 = 34$.

Однако мы ранее вычислили, что $|M| + |P| = 35$. Получаем противоречие: $35 \le 34$, что является ложным утверждением. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Значит, утверждение о том, что в каждой олимпиаде участвовало меньше 18 учеников, ложно. Это доказывает, что хотя бы в одной из олимпиад приняли участие не меньше 18 учеников.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Чтобы доказать, что два множества равномощны, нужно построить между ними биекцию (взаимно однозначное соответствие).

Пусть $A$ — множество натуральных чисел, кратных числу 8. Элементы этого множества имеют вид $8k$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}, k \ge 1$). $A = \{8, 16, 24, 32, \dots, 8k, \dots\}$

Пусть $B$ — множество натуральных чисел, кратных числу 3. Элементы этого множества имеют вид $3k$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}, k \ge 1$). $B = \{3, 6, 9, 12, \dots, 3k, \dots\}$

Определим функцию $f: A \to B$, которая каждому элементу из множества $A$ ставит в соответствие элемент из множества $B$ по следующему правилу: $f(8k) = 3k$.

Например, $f(8) = 3$, $f(16) = 6$, $f(24) = 9$ и так далее.

Докажем, что эта функция является биекцией.

1. Инъективность: Пусть $a_1$ и $a_2$ — два разных элемента из $A$. Тогда $a_1 = 8k_1$ и $a_2 = 8k_2$ для некоторых $k_1 \ne k_2$. Применяя функцию, получаем $f(a_1) = 3k_1$ и $f(a_2) = 3k_2$. Поскольку $k_1 \ne k_2$, то и $3k_1 \ne 3k_2$. Таким образом, разным элементам из $A$ соответствуют разные элементы из $B$.
2. Сюръективность: Возьмём произвольный элемент $b$ из множества $B$. Он имеет вид $b = 3k$ для некоторого натурального $k$. Мы должны показать, что существует элемент $a \in A$, для которого $f(a) = b$. Рассмотрим элемент $a = 8k$. Он принадлежит множеству $A$. По нашему правилу, $f(a) = f(8k) = 3k$, что в точности равно $b$. Таким образом, для любого элемента из $B$ найдётся прообраз в $A$.

Так как мы построили биекцию между множествами $A$ и $B$, эти множества равномощны.

Ответ: Что и требовалось доказать.