Страница 71 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 32

Функции $y = \arccos x, y = \arcsin x,$

$y = \operatorname{arctg} x$ и $y = \operatorname{arcctg} x$

1. Вычислите:

1) $\sin(2\operatorname{arctg}(-1));$

2) $\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \arcsin\frac{1}{2}\right);$

3) $\cos\left(\arccos\frac{4}{5}\right).$

2. Найдите область определения функции $y = \arccos(x^2 - 2).$

3. Найдите область значений функции:

1) $y = 3\arcsin x + \frac{\pi}{4};$

2) $y = 4 - 2\operatorname{arctg} 2x.$

4. Вычислите:

1) $\cos\left(\arcsin\frac{2}{9}\right);$

2) $\sin(\operatorname{arctg} 3);$

3) $\sin\left(2\arcsin\frac{2}{5}\right);$

4) $\arccos(\cos 6).$

1. Вычислите:

1) $sin(2arctg(-1))$

Сначала найдем значение арктангенса. По определению, $arctg(-1)$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-1$. Этим углом является $-\frac{\pi}{4}$.

$arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = sin(-\frac{\pi}{2})$

Так как синус — нечетная функция, $sin(-x) = -sin(x)$, получаем:

$sin(-\frac{\pi}{2}) = -sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Ответ: $-1$

2) $tg(2arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + arcsin\frac{1}{2})$

Найдем значения аркфункций в скобках:

$arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$, так как $tg(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и угол $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

$arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, так как $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Подставим найденные значения в выражение:

$tg(2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{6}) = tg(-\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = tg(-\frac{\pi}{6})$

Вычисляем значение тангенса:

$tg(-\frac{\pi}{6}) = -tg(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{3}}$

3) $cos(arccos\frac{4}{5})$

Согласно определению арккосинуса, для любого числа $x$ из отрезка $[-1; 1]$ выполняется равенство $cos(arccos(x)) = x$.

Так как число $\frac{4}{5}$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, то:

$cos(arccos\frac{4}{5}) = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

2. Найдите область определения функции $y = arccos(x^2 - 2)$.

Область определения функции $y = arccos(u)$ задается условием $-1 \le u \le 1$. В данном случае аргументом арккосинуса является выражение $u = x^2 - 2$.

Следовательно, необходимо решить двойное неравенство:

$-1 \le x^2 - 2 \le 1$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-1 + 2 \le x^2 \le 1 + 2$

$1 \le x^2 \le 3$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 \ge 1 \\ x^2 \le 3 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x^2 \ge 1$ является $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Решением второго неравенства $x^2 \le 3$ является $x \in [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

Областью определения функции будет пересечение этих двух множеств. На числовой оси это соответствует объединению отрезков $[-\sqrt{3}; -1]$ и $[1; \sqrt{3}]$.

Ответ: $[-\sqrt{3}; -1] \cup [1; \sqrt{3}]$

3. Найдите область значений функции:

1) $y = 3\arcsin x + \frac{\pi}{4}$

Областью значений функции $y = arcsin(x)$ является отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$-\frac{\pi}{2} \le arcsin(x) \le \frac{\pi}{2}$

Умножим все части этого неравенства на 3:

$-\frac{3\pi}{2} \le 3\arcsin(x) \le \frac{3\pi}{2}$

Теперь прибавим ко всем частям $\frac{\pi}{4}$:

$-\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \le 3\arcsin(x) + \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$

$-\frac{6\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \le y \le \frac{6\pi}{4} + \frac{\pi}{4}$

$-\frac{5\pi}{4} \le y \le \frac{7\pi}{4}$

Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}]$.

Ответ: $[-\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}]$

2) $y = 4 - 2\operatorname{arctg}2x$

Областью значений функции $y = \operatorname{arctg}(u)$ является интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

$-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}(2x) < \frac{\pi}{2}$

Умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-2 \cdot \frac{\pi}{2} < -2\operatorname{arctg}(2x) < -2 \cdot (-\frac{\pi}{2})$

$-\pi < -2\operatorname{arctg}(2x) < \pi$

Теперь прибавим 4 ко всем частям:

$4 - \pi < 4 - 2\operatorname{arctg}(2x) < 4 + \pi$

$4 - \pi < y < 4 + \pi$

Следовательно, область значений функции — это интервал $(4 - \pi; 4 + \pi)$.

Ответ: $(4 - \pi; 4 + \pi)$

4. Вычислите:

1) $cos(arcsin\frac{2}{9})$

Пусть $\alpha = arcsin(\frac{2}{9})$. Тогда $sin(\alpha) = \frac{2}{9}$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Поскольку $sin(\alpha) = \frac{2}{9} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$. В этой четверти косинус неотрицателен, $cos(\alpha) \ge 0$.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$:

$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{2}{9})^2 = 1 - \frac{4}{81} = \frac{77}{81}$

$cos(\alpha) = \sqrt{\frac{77}{81}} = \frac{\sqrt{77}}{9}$

Ответ: $\frac{\sqrt{77}}{9}$

2) $sin(arctg 3)$

Пусть $\alpha = arctg(3)$. Тогда $tg(\alpha) = 3$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Поскольку $tg(\alpha) = 3 > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$. В этой четверти синус положителен, $sin(\alpha) > 0$.

Используем тригонометрическое тождество $1 + ctg^2(\alpha) = \frac{1}{sin^2(\alpha)}$.

Если $tg(\alpha) = 3$, то $ctg(\alpha) = \frac{1}{3}$.

$1 + (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{sin^2(\alpha)} \implies 1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{sin^2(\alpha)} \implies \frac{10}{9} = \frac{1}{sin^2(\alpha)}$

$sin^2(\alpha) = \frac{9}{10}$

Так как $sin(\alpha) > 0$, то $sin(\alpha) = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

3) $sin(2arcsin\frac{2}{5})$

Пусть $\alpha = arcsin(\frac{2}{5})$. Тогда $sin(\alpha) = \frac{2}{5}$. Нам необходимо вычислить $sin(2\alpha)$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$.

Значение $sin(\alpha)$ нам известно. Найдем $cos(\alpha)$. Так как $\alpha = arcsin(\frac{2}{5})$, то $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$, и на этом промежутке $cos(\alpha) \ge 0$.

Из основного тригонометрического тождества: $cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$.

$cos(\alpha) = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$.

Подставим значения $sin(\alpha)$ и $cos(\alpha)$ в формулу двойного угла:

$sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{4\sqrt{21}}{25}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{21}}{25}$

4) $arccos(cos 6)$

Область значений функции арккосинус — отрезок $[0; \pi]$. Нам нужно найти такое число $y \in [0; \pi]$, для которого $cos(y) = cos(6)$.

Число 6 не принадлежит отрезку $[0; \pi]$ (так как $\pi \approx 3.14$).

Используем свойство четности косинуса $cos(x) = cos(-x)$ и его периодичность $cos(x) = cos(x + 2\pi k)$ для целого $k$.

Общее решение уравнения $cos(y) = cos(6)$ имеет вид $y = \pm 6 + 2\pi k$.

Нам нужно подобрать такое целое $k$, чтобы значение $y$ попало в отрезок $[0; \pi]$.

Рассмотрим $y = 2\pi - 6$ (это соответствует $k=1$ для случая с "-6").

Оценим значение этого выражения: $2\pi - 6 \approx 2 \cdot 3.14159 - 6 = 6.28318 - 6 = 0.28318$.

Это значение принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Таким образом, $arccos(cos(6)) = 2\pi - 6$.

Ответ: $2\pi - 6$