Страница 76 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 40

Правила вычисления производных

1. Найдите производную функции:

1) $y = 8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2;$

2) $y = \sin x - \text{ctg} x;$

3) $y = \sqrt{x}(2x^2 + 4);$

4) $y = \frac{x - 3}{\sqrt{x}};$

5) $y = \sqrt[3]{x^3 - 9x};$

6) $y = x^3 \sin \frac{1}{x};$

2. Найдите производную функции $f(x) = |x^2 - 5x|$ в точках $x_1 = -1$ и $x_2 = 3.$

1.

1) Дана функция $y = 8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы/разности функций.

$y' = (8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2)' = (8x^9)' - (3x^5)' + (6x^3)' - (2)'$

$y' = 8 \cdot 9x^{9-1} - 3 \cdot 5x^{5-1} + 6 \cdot 3x^{3-1} - 0 = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$.

Ответ: $y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$.

2) Дана функция $y = \sin x - \operatorname{ctg} x$.

Используем производные тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

$y' = (\sin x - \operatorname{ctg} x)' = (\sin x)' - (\operatorname{ctg} x)' = \cos x - (-\frac{1}{\sin^2 x}) = \cos x + \frac{1}{\sin^2 x}$.

Ответ: $y' = \cos x + \frac{1}{\sin^2 x}$.

3) Дана функция $y = \sqrt{x(2x^2 + 4)}$.

Сначала преобразуем выражение под корнем: $y = \sqrt{2x^3 + 4x}$.

Это сложная функция, поэтому для нахождения производной применим цепное правило $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Здесь внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя $g(x) = 2x^3 + 4x$.

$y' = (\sqrt{2x^3 + 4x})' = \frac{1}{2\sqrt{2x^3 + 4x}} \cdot (2x^3 + 4x)' = \frac{1}{2\sqrt{2x^3 + 4x}} \cdot (6x^2 + 4)$.

Упростим полученное выражение: $y' = \frac{6x^2 + 4}{2\sqrt{2x^3 + 4x}} = \frac{2(3x^2 + 2)}{2\sqrt{2x^3 + 4x}} = \frac{3x^2 + 2}{\sqrt{2x^3 + 4x}}$.

Ответ: $y' = \frac{3x^2 + 2}{\sqrt{2x^3 + 4x}}$.

4) Дана функция $y = \frac{x - 3}{\sqrt{x}}$.

Для удобства дифференцирования преобразуем функцию, разделив числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{x}{\sqrt{x}} - \frac{3}{\sqrt{x}} = x^{1/2} - 3x^{-1/2}$.

Теперь найдем производную, используя правило для степенной функции:

$y' = (x^{1/2})' - (3x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 3(-\frac{1}{2})x^{-3/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{3}{2x\sqrt{x}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2x\sqrt{x}$: $y' = \frac{x}{2x\sqrt{x}} + \frac{3}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+3}{2x\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{x+3}{2x\sqrt{x}}$.

5) Дана функция $y = \sqrt[3]{x^3 - 9x}$.

Представим функцию в виде степени для удобства дифференцирования: $y = (x^3 - 9x)^{1/3}$.

Используем цепное правило. Внешняя функция $f(u) = u^{1/3}$, внутренняя $g(x) = x^3 - 9x$.

$y' = \frac{1}{3}(x^3 - 9x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (x^3 - 9x)' = \frac{1}{3}(x^3 - 9x)^{-2/3} \cdot (3x^2 - 9)$.

$y' = \frac{3x^2 - 9}{3\sqrt[3]{(x^3 - 9x)^2}} = \frac{3(x^2 - 3)}{3\sqrt[3]{(x^3 - 9x)^2}} = \frac{x^2 - 3}{\sqrt[3]{(x^3 - 9x)^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2 - 3}{\sqrt[3]{(x^3 - 9x)^2}}$.

6) Дана функция $y = x^3 \sin\frac{1}{x}$.

Применим правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепное правило.

Пусть $u = x^3$ и $v = \sin\frac{1}{x}$.

Найдем производные: $u' = 3x^2$.

Для $v'$ используем цепное правило: $v' = (\sin\frac{1}{x})' = \cos(\frac{1}{x}) \cdot (\frac{1}{x})' = \cos(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x}$.

Теперь подставим все в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (3x^2)(\sin\frac{1}{x}) + (x^3)(-\frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x})$.

$y' = 3x^2 \sin\frac{1}{x} - \frac{x^3}{x^2}\cos\frac{1}{x} = 3x^2 \sin\frac{1}{x} - x\cos\frac{1}{x}$.

Ответ: $y' = 3x^2 \sin\frac{1}{x} - x \cos\frac{1}{x}$.

2.

Дана функция $f(x) = |x^2 - 5x|$. Требуется найти производную в точках $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Сначала раскроем модуль. Для этого определим знаки выражения $x^2 - 5x$. Найдем его нули: $x^2 - 5x = 0 \implies x(x-5) = 0$, откуда $x=0$ и $x=5$.

График функции $y = x^2 - 5x$ — это парабола с ветвями вверх. Следовательно, выражение $x^2 - 5x \ge 0$ при $x \in (-\infty, 0] \cup [5, \infty)$ и $x^2 - 5x < 0$ при $x \in (0, 5)$.

Таким образом, функцию $f(x)$ можно представить в кусочно-заданном виде:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 5x, & \text{если } x \in (-\infty, 0] \cup [5, \infty) \\ -(x^2 - 5x) = 5x - x^2, & \text{если } x \in (0, 5) \end{cases}$

Теперь найдем производную для каждого интервала, на котором она существует:

$f'(x) = \begin{cases} (x^2 - 5x)' = 2x - 5, & \text{если } x \in (-\infty, 0) \cup (5, \infty) \\ (5x - x^2)' = 5 - 2x, & \text{если } x \in (0, 5) \end{cases}$

(В точках "излома" $x=0$ и $x=5$ функция не является дифференцируемой).

Вычислим значения производной в заданных точках:

Для точки $x_1 = -1$: эта точка принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$, поэтому используем формулу $f'(x) = 2x - 5$.

$f'(-1) = 2(-1) - 5 = -2 - 5 = -7$.

Для точки $x_2 = 3$: эта точка принадлежит интервалу $(0, 5)$, поэтому используем формулу $f'(x) = 5 - 2x$.

$f'(3) = 5 - 2(3) = 5 - 6 = -1$.

Ответ: $f'(-1) = -7$; $f'(3) = -1$.