Страница 81 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 1

Множества. Операции над множествами

1. Какие из следующих утверждений верны:

1) ${0} \in {0, 5, 6}$;

2) $5 \subset {0, 5, 6}$;

3) $0 \in {0, 5, 6}$;

4) ${6} \subset {0, 5, 6}$;

5) ${\emptyset} \in {0, 5, 6}$;

6) $\emptyset \subset {0, 5, 6}$?

2. Какие из следующих утверждений верны:

1) ${4} \cap {1, 4} = {4}$;

2) ${4} \cap {1, 4} = {{4}}$;

3) ${4} \cup {1, 4} = {1, 4}$;

4) ${4} \cup {1, 4} = {{4}}$?

3. Даны множества $A = \{x | x^2 - 49 = 0\}$ и $B = \{x | (x+7)(x - 1) = 0\}$. Найдите:

1) $A \cap B$;

2) $A \cup B$;

3) $A \setminus B$;

4) $B \setminus A$.

4. На диаграмме Эйлера (рис. 22) изображены множества A, B и C. Заштрихуйте множество:

1) $(A \cap B) \cup C$;

2) $(A \cap C) \setminus B$;

3) $(A \setminus B) \cup C$.

Рис. 22

1. Какие из следующих утверждений верны

Разберем каждое утверждение:

1) $\{0\} \in \{0, 5, 6\}$ - Неверно. Элементами множества $\{0, 5, 6\}$ являются числа 0, 5 и 6, а не множество $\{0\}$, содержащее число 0.

2) $5 \subset \{0, 5, 6\}$ - Неверно. Символ $\subset$ (является подмножеством) используется для множеств. Число 5 не является множеством. Корректная запись была бы $5 \in \{0, 5, 6\}$ (5 является элементом) или $\{5\} \subset \{0, 5, 6\}$ (множество из одного элемента 5 является подмножеством).

3) $0 \in \{0, 5, 6\}$ - Верно. Число 0 является одним из элементов, перечисленных в множестве.

4) $\{6\} \subset \{0, 5, 6\}$ - Верно. Множество $\{6\}$ является подмножеством множества $\{0, 5, 6\}$, так как каждый элемент первого множества (в данном случае, только число 6) также является элементом второго множества.

5) $\{\emptyset\} \in \{0, 5, 6\}$ - Неверно. Элементами множества $\{0, 5, 6\}$ являются числа 0, 5, 6, а не множество, содержащее пустой символ.

6) $\emptyset \subset \{0, 5, 6\}$ - Верно. Пустое множество ($\emptyset$) по определению является подмножеством любого множества.

Ответ: 3, 4, 6.

2. Какие из следующих утверждений верны

Разберем каждое утверждение:

1) $\{4\} \cap \{1, 4\} = \{4\}$ - Верно. Пересечение ($\cap$) двух множеств — это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат обоим исходным множествам. Общим элементом для $\{4\}$ и $\{1, 4\}$ является 4.

2) $\{4\} \cap \{1, 4\} = \{\{4\}\}$ - Неверно. Результатом пересечения является множество $\{4\}$, а не множество, элементом которого является множество $\{4\}$.

3) $\{4\} \cup \{1, 4\} = \{1, 4\}$ - Верно. Объединение ($\cup$) двух множеств — это множество, содержащее все элементы из обоих множеств без дублирования. Объединив элементы, получаем $\{1, 4\}$.

4) $\{4\} \cup \{1, 4\} = \{\{4\}\}$ - Неверно. Результатом объединения является множество $\{1, 4\}$.

Ответ: 1, 3.

3. Даны множества A = $\{x | x^2 - 49 = 0\}$ и B = $\{x | (x + 7)(x - 1) = 0\}$. Найдите:

Сначала определим элементы множеств A и B, решив соответствующие уравнения:

Для множества A: $x^2 - 49 = 0 \Rightarrow (x-7)(x+7) = 0$. Корни уравнения: $x_1=7, x_2=-7$.
Таким образом, $A = \{-7, 7\}$.

Для множества B: $(x+7)(x-1) = 0$. Корни уравнения: $x_1=-7, x_2=1$.
Таким образом, $B = \{-7, 1\}$.

1) $A \cap B$
Пересечение множеств A и B содержит элементы, общие для обоих множеств.
$A \cap B = \{-7, 7\} \cap \{-7, 1\} = \{-7\}$.
Ответ: $\{-7\}$.

2) $A \cup B$
Объединение множеств A и B содержит все элементы из обоих множеств.
$A \cup B = \{-7, 7\} \cup \{-7, 1\} = \{-7, 1, 7\}$.
Ответ: $\{-7, 1, 7\}$.

3) $A \setminus B$
Разность множеств A и B содержит элементы, которые есть в A, но отсутствуют в B.
$A \setminus B = \{-7, 7\} \setminus \{-7, 1\} = \{7\}$.
Ответ: $\{7\}$.

4) $B \setminus A$
Разность множеств B и A содержит элементы, которые есть в B, но отсутствуют в A.
$B \setminus A = \{-7, 1\} \setminus \{-7, 7\} = \{1\}$.
Ответ: $\{1\}$.

4. На диаграмме Эйлера (рис. 22) изображены множества A, B и C. Заштрихуйте множество:

1) $(A \cap B) \cup C$
Это выражение означает объединение множества C с пересечением множеств A и B.
Ответ: Нужно заштриховать область, которая принадлежит множеству C или пересечению множеств A и B. Иными словами, заштриховывается весь круг C, а также та часть, где круги A и B перекрываются.

2) $(A \cap C) \setminus B$
Это выражение означает пересечение множеств A и C, из которого исключены все элементы множества B.
Ответ: Нужно заштриховать область, общую для множеств A и C, но не входящую в множество B (т.е. только ту часть пересечения A и C, которая находится вне круга B).

3) $(A \setminus B) \cup C$
Это выражение означает объединение множества C с разностью множеств A и B.
Ответ: Нужно заштриховать всю область множества C и, в дополнение к ней, ту часть множества A, которая не пересекается с множеством B.

Самостоятельная работа № 2

Конечные и бесконечные множества

1. Докажите, что множество точек сторон остроугольного треугольника и множество точек описанной около этого треугольника окружности равномощны.

2. Каких натуральных чисел больше: пятизначных чисел или семизначных чисел, кратных числу 100?

3. Сорок три студента университета изучают английский или французский язык. Известно, что 16 студентов изучают оба эти языка. Докажите, что хотя бы один из языков изучают не меньше 30 студентов.

4. Докажите, что множество натуральных чисел, кратных числу 9, равномощно множеству натуральных чисел, кратных числу 4.

1.

Чтобы доказать, что два множества равномощны, необходимо установить между ними биективное (взаимно-однозначное) соответствие. Пусть $T$ — множество точек сторон остроугольного треугольника, а $\Omega$ — множество точек описанной около него окружности.

Поскольку треугольник является остроугольным, центр $O$ описанной окружности лежит внутри треугольника. Построим отображение $f: T \to \Omega$ следующим образом: для любой точки $P$, принадлежащей одной из сторон треугольника (то есть $P \in T$), проведем луч, исходящий из центра $O$ и проходящий через точку $P$. Этот луч пересечет окружность $\Omega$ в единственной точке $P'$. Положим $f(P) = P'$.

Докажем, что это отображение является биекцией.

1. Инъективность (взаимная однозначность). Предположим, что две разные точки $P_1$ и $P_2$ на сторонах треугольника отображаются в одну и ту же точку на окружности. Это означало бы, что $P_1$ и $P_2$ лежат на одном и том же луче, исходящем из центра $O$. Но поскольку центр $O$ находится внутри треугольника, любой такой луч пересекает периметр треугольника (совокупность его сторон) только в одной точке. Следовательно, $P_1$ должно быть равно $P_2$, что противоречит нашему предположению. Таким образом, разным точкам на сторонах треугольника соответствуют разные точки на окружности.

2. Сюръективность (отображение "на"). Возьмем произвольную точку $Q$ на окружности $\Omega$. Проведем луч из центра $O$ через точку $Q$. Так как $O$ находится внутри треугольника, этот луч обязательно пересечет одну из его сторон в некоторой точке $P$. По нашему построению, точка $P$ как раз и будет отображаться в точку $Q$, то есть $f(P) = Q$. Это означает, что для любой точки на окружности найдется соответствующая ей точка на стороне треугольника.

Поскольку мы построили биективное отображение между множеством точек сторон треугольника и множеством точек описанной окружности, эти два множества равномощны.

Ответ: Множества равномощны, так как между ними можно установить биективное соответствие (центральную проекцию из центра описанной окружности).

2.

Сначала найдем количество пятизначных натуральных чисел. Первое пятизначное число — 10 000, последнее — 99 999. Их общее количество равно:

$99999 - 10000 + 1 = 90000$.

Теперь найдем количество семизначных натуральных чисел, кратных числу 100. Число кратно 100, если оно заканчивается на 00.

Наименьшее семизначное число — 1 000 000. Наибольшее — 9 999 999.

Первое семизначное число, кратное 100, — это 1 000 000. Его можно представить как $10000 \times 100$.

Последнее семизначное число, кратное 100, — это 9 999 900. Его можно представить как $99999 \times 100$.

Таким образом, искомые числа имеют вид $k \times 100$, где $k$ принимает все целые значения от 10 000 до 99 999 включительно. Количество таких значений $k$ равно:

$99999 - 10000 + 1 = 90000$.

Следовательно, количество пятизначных натуральных чисел и количество семизначных натуральных чисел, кратных 100, одинаково.

Ответ: Количество таких чисел одинаково и равно 90 000.

3.

Пусть $A$ — множество студентов, изучающих английский язык, и $B$ — множество студентов, изучающих французский язык.

По условию, общее число студентов, изучающих хотя бы один из этих языков, равно $|A \cup B| = 43$.

Число студентов, изучающих оба языка, равно $|A \cap B| = 16$.

Используем формулу включений-исключений для двух множеств: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.

Подставим известные значения:

$43 = |A| + |B| - 16$

Отсюда найдем суммарное количество "посещений" языковых курсов:

$|A| + |B| = 43 + 16 = 59$.

Нам нужно доказать, что хотя бы один из языков изучают не меньше 30 студентов, то есть $|A| \ge 30$ или $|B| \ge 30$.

Докажем от противного. Предположим, что оба языка изучают меньше 30 студентов:

$|A| < 30$ (то есть $|A| \le 29$) и $|B| < 30$ (то есть $|B| \le 29$).

В этом случае их максимальная возможная сумма была бы:

$|A| + |B| \le 29 + 29 = 58$.

Однако мы ранее вычислили, что $|A| + |B| = 59$. Возникло противоречие ($59 \le 58$), которое является ложным. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Значит, утверждение о том, что оба языка изучают меньше 30 студентов, ложно. Следовательно, хотя бы один из языков изучают не меньше 30 студентов.

Ответ: Утверждение доказано.

4.

Чтобы доказать равномощность двух множеств, необходимо установить между ними биективное соответствие (биекцию).

Пусть $A$ — множество натуральных чисел, кратных числу 9. Элементы этого множества имеют вид $9k$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}, k \ge 1$).

$A = \{9, 18, 27, 36, \dots, 9k, \dots\}$

Пусть $B$ — множество натуральных чисел, кратных числу 4. Элементы этого множества имеют вид $4n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}, n \ge 1$).

$B = \{4, 8, 12, 16, \dots, 4n, \dots\}$

Рассмотрим отображение $f: A \to B$, которое каждому элементу $a \in A$ вида $a=9k$ ставит в соответствие элемент $b \in B$ вида $b=4k$. Таким образом, определим функцию: $f(9k) = 4k$.

Докажем, что это отображение является биекцией.

1. Инъективность. Пусть $a_1 = 9k_1$ и $a_2 = 9k_2$ — два элемента из $A$. Если $f(a_1) = f(a_2)$, то по определению функции $4k_1 = 4k_2$, откуда следует, что $k_1 = k_2$. А если $k_1 = k_2$, то и $9k_1 = 9k_2$, то есть $a_1 = a_2$. Таким образом, разным элементам из $A$ соответствуют разные элементы из $B$.

2. Сюръективность. Возьмем любой элемент $b$ из множества $B$. Он имеет вид $b = 4n$ для некоторого натурального $n$. Мы должны показать, что существует такой элемент $a \in A$, что $f(a) = b$. Искомый элемент $a$ должен иметь вид $9k$. По определению нашей функции, $f(9k) = 4k$. Нам нужно, чтобы $4k = 4n$, что выполняется при $k=n$. Следовательно, для любого элемента $b=4n \in B$ мы можем найти его прообраз $a = 9n \in A$.

Так как отображение $f$ является и инъективным, и сюръективным, оно является биекцией. Это доказывает, что множества $A$ и $B$ равномощны.

Ответ: Множества равномощны, так как между ними можно установить биекцию $f(9k) = 4k$.