Страница 84 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 7

Обратная функция

1. Какие из функций являются обратимыми:

1) $y = 5x - 4$;

2) $y = x^2$, $D(y) = (-\infty; 3]$;

3) $y = x^2$, $D(y) = (2; +\infty)$?

2. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 2 - 3x$;

2) $y = 1 - \sqrt{x - 4}$.

3. С помощью графика функции $f$, изображённого на рисунке 23, постройте график функции $g$, обратной к функции $f$.

Рис. 23

4. Функция $g$ является обратной к функции $f(x) = x^3 + x - 64$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.

1. Какие из функций являются обратимыми:

Функция является обратимой, если она строго монотонна на всей своей области определения (то есть, строго возрастает или строго убывает). Каждому значению функции должно соответствовать только одно значение аргумента.

1) $y = 5x - 4$

Это линейная функция, её график — прямая линия. Угловой коэффициент $k=5 > 0$, следовательно, функция является строго возрастающей на всей числовой оси. Значит, функция обратима.

2) $y = x^2, D(y) = (-\infty; 3]$

Здесь $D(y)$ обозначает область определения функции, то есть $x \in (-\infty; 3]$. Функция $y=x^2$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Поскольку заданная область определения $(-\infty; 3]$ содержит промежутки как убывания, так и возрастания функции, она не является строго монотонной на этой области. Например, $f(-1) = (-1)^2 = 1$ и $f(1) = 1^2 = 1$. Разным значениям аргумента ($x=-1$ и $x=1$) соответствует одно и то же значение функции. Следовательно, функция не является обратимой на данном промежутке.

3) $y = x^2, D(y) = (2; +\infty)$

Область определения функции $x \in (2; +\infty)$. Этот промежуток является частью промежутка $[0; +\infty)$, на котором функция $y=x^2$ строго возрастает. Следовательно, на области определения $(2; +\infty)$ функция является строго монотонной, а значит, обратимой.

Ответ: обратимыми являются функции 1 и 3.

2. Найдите функцию, обратную к данной:

Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные $x$ и $y$ местами.

1) $y = 2 - 3x$

Выразим $x$ через $y$:

$3x = 2 - y$

$x = \frac{2-y}{3}$

Теперь заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде:

$y = \frac{2-x}{3}$

Ответ: $y = \frac{2-x}{3}$.

2) $y = 1 - \sqrt{x-4}$

Сначала найдем область определения и область значений исходной функции.
Область определения $D(f)$: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$. Итак, $D(f) = [4; +\infty)$.
Область значений $E(f)$: поскольку $\sqrt{x-4} \ge 0$, то $-\sqrt{x-4} \le 0$, и $y = 1 - \sqrt{x-4} \le 1$. Итак, $E(f) = (-\infty; 1]$.

Теперь выразим $x$ через $y$:

$y = 1 - \sqrt{x-4}$

$\sqrt{x-4} = 1 - y$

Возведём обе части в квадрат. Учтём, что $1-y \ge 0$, то есть $y \le 1$, что соответствует найденной области значений $E(f)$.

$x-4 = (1-y)^2$

$x = (1-y)^2 + 4$

Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить обратную функцию $g(x)$:

$y = (1-x)^2 + 4$

Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, то есть $D(g) = E(f) = (-\infty; 1]$.

Ответ: $y = (1-x)^2 + 4$, при $x \in (-\infty; 1]$.

3. С помощью графика функции f, изображённого на рисунке 23, постройте график функции g, обратной к функции f.

График функции $g$, обратной к функции $f$, симметричен графику функции $f$ относительно прямой $y=x$. Чтобы построить график функции $g$, можно выбрать несколько точек на графике $f$, поменять их координаты местами и построить новый график по этим точкам.

Выберем на графике функции $f$ несколько точек с целочисленными координатами:

• $A(-2; 1)$
• $B(0; 0)$
• $C(2; -1)$
• $D(6; -2)$

Для построения графика обратной функции $g$ возьмем точки с инвертированными координатами:

• $A'(1; -2)$
• $B'(0; 0)$
• $C'(-1; 2)$
• $D'(-2; 6)$

Теперь нужно отметить на координатной плоскости точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ и соединить их плавной кривой. Полученный график и будет графиком функции $g$, обратной к $f$. Он будет симметричен исходному графику относительно прямой $y=x$. Исходная функция убывает и выпукла вниз, а обратная функция будет также убывающей, но выпуклой вверх.

Ответ: Для построения графика обратной функции $g$ нужно отразить график функции $f$ симметрично относительно прямой $y=x$. Ключевые точки для графика $g$: $(1; -2)$, $(0; 0)$, $(-1; 2)$, $(-2; 6)$.

4. Функция g является обратной к функции $f(x) = x^3 + x - 64$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.

Найдем производную функции $f(x)$, чтобы определить её монотонность:

$f'(x) = (x^3 + x - 64)' = 3x^2 + 1$

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$, и $f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$. Так как производная функции $f(x)$ всегда положительна, функция является строго возрастающей на всей своей области определения.
Для строго возрастающей функции $f(x)$ её график может пересекаться с графиком обратной функции $g(x) = f^{-1}(x)$ только на прямой $y=x$. Это означает, что равенство $f(x) = g(x)$ выполняется только для тех $x$, для которых $f(x) = x$.

Таким образом, уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = x$.

Решим это уравнение:

$x^3 + x - 64 = x$

$x^3 - 64 = 0$

$x^3 = 64$

$x = \sqrt[3]{64}$

$x = 4$

Проверим решение: $f(4) = 4^3 + 4 - 64 = 64 + 4 - 64 = 4$. Так как $f(4)=4$, точка $(4, 4)$ лежит на графике $f(x)$, а значит, и на прямой $y=x$, и на графике обратной функции $g(x)$. Следовательно, $g(4)=4$, и при $x=4$ выполняется равенство $f(x) = g(x)$.

Ответ: $x=4$.

Самостоятельная работа № 8

Метод интервалов

1. Решите неравенство:

1) $(x^2 + 2x)(x^2 - 64) \ge 0;$

2) $(x - 3)^2(x^2 - 6x + 5) < 0;$

3) $\frac{x^2 + 8x}{x + 6} \le \frac{20}{x + 6};$

4) $(x^2 - 9x + 14)\sqrt{x^2 + 4x + 3} \le 0.$

2. Найдите множество решений неравенства $(x + 5)(x - a)^2 \le 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

1. Решите неравенство:

1) $(x^2 + 2x)(x^2 - 64) \ge 0$

Разложим на множители каждый из сомножителей в левой части неравенства:

$x^2 + 2x = x(x+2)$

$x^2 - 64 = (x-8)(x+8)$

Неравенство принимает вид:

$x(x+2)(x-8)(x+8) \ge 0$

Найдем корни левой части, решив уравнение $x(x+2)(x-8)(x+8) = 0$. Корни: $x_1 = -8$, $x_2 = -2$, $x_3 = 0$, $x_4 = 8$.

Отметим эти корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое, точки будут закрашенными. Эти точки разбивают ось на пять интервалов.

Определим знак выражения в каждом интервале. В крайнем правом интервале $(8, +\infty)$ выражение положительно. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться: +, -, +, -, +.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+".

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, -8] \cup [-2, 0] \cup [8, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -8] \cup [-2, 0] \cup [8, +\infty)$.

2) $(x - 3)^2(x^2 - 6x + 5) < 0$

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 6x + 5$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ по теореме Виета равны 1 и 5. Тогда $x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 3)^2(x-1)(x-5) < 0$

Найдем корни левой части: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$, $x_3 = 5$. Корень $x=3$ имеет кратность 2 (четная), остальные — кратность 1 (нечетная).

Отметим эти корни на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Определим знаки. В крайнем правом интервале $(5, +\infty)$ выражение положительно. При переходе через корень $x=5$ знак меняется на "-", при переходе через корень $x=3$ (четной кратности) знак не меняется, при переходе через корень $x=1$ знак меняется на "+". Знаки в интервалах: +, -, -, +.

Нам нужны интервалы, где выражение строго меньше нуля. Это интервалы со знаком "-".

Следовательно, решение неравенства: $x \in (1, 3) \cup (3, 5)$.

Ответ: $(1, 3) \cup (3, 5)$.

3) $\frac{x^2 + 8x}{x + 6} \le \frac{20}{x + 6}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 + 8x}{x + 6} - \frac{20}{x + 6} \le 0$

$\frac{x^2 + 8x - 20}{x + 6} \le 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.

Разложим на множители числитель $x^2 + 8x - 20$. Корни уравнения $x^2 + 8x - 20 = 0$ по теореме Виета равны -10 и 2. Тогда $x^2 + 8x - 20 = (x+10)(x-2)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+10)(x-2)}{x+6} \le 0$

Найдем нули числителя ($x=-10, x=2$) и нуль знаменателя ($x=-6$).

Отметим эти точки на числовой оси. Нули числителя будут закрашенными, а нуль знаменателя — выколотым.

Определим знаки дроби в интервалах. В крайнем правом интервале $(2, +\infty)$ выражение положительно. Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются: +, -, +, -.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком "-".

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, -10] \cup (-6, 2]$.

Ответ: $(-\infty, -10] \cup (-6, 2]$.

4) $(x^2 - 9x + 14)\sqrt{x^2 + 4x + 3} \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 + 4x + 3 \ge 0$

Корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ равны -3 и -1. Это парабола с ветвями вверх, значит, она неотрицательна вне корней.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, +\infty)$.

Произведение неотрицательного множителя $\sqrt{x^2 + 4x + 3}$ и множителя $(x^2 - 9x + 14)$ будет меньше или равно нулю в двух случаях:

Случай 1: Выражение равно нулю.

Это происходит, если один из множителей равен нулю (с учетом ОДЗ).

$\sqrt{x^2 + 4x + 3} = 0 \implies x^2 + 4x + 3 = 0 \implies x = -3$ или $x = -1$. Оба значения входят в ОДЗ.

$x^2 - 9x + 14 = 0 \implies (x-2)(x-7) = 0 \implies x = 2$ или $x = 7$. Оба значения входят в ОДЗ.

Таким образом, числа -3, -1, 2, 7 являются решениями.

Случай 2: Выражение строго меньше нуля.

Это возможно, только если $\sqrt{x^2 + 4x + 3} > 0$ и $x^2 - 9x + 14 < 0$.

$\sqrt{x^2 + 4x + 3} > 0$ при $x \in (-\infty, -3) \cup (-1, +\infty)$.

$x^2 - 9x + 14 < 0 \implies (x-2)(x-7) < 0$. Это парабола с ветвями вверх, она отрицательна между корнями. Решение: $x \in (2, 7)$.

Найдем пересечение множеств решений: $(2, 7) \cap ((-\infty, -3) \cup (-1, +\infty)) = (2, 7)$.

Объединим решения из обоих случаев: $\{-3, -1, 2, 7\} \cup (2, 7) = \{-3, -1\} \cup [2, 7]$.

Ответ: $\{-3\} \cup \{-1\} \cup [2, 7]$.

2. Найдите множество решений неравенства $(x + 5)(x - a)^2 \le 0$ в зависимости от значения параметра a.

Рассмотрим неравенство $(x + 5)(x - a)^2 \le 0$.

Множитель $(x-a)^2$ всегда неотрицателен, т.е. $(x-a)^2 \ge 0$ при любом $x$.

Неравенство может выполняться в двух случаях:

1. Произведение равно нулю. Это происходит, когда $x+5=0$ или $x-a=0$. То есть, $x=-5$ и $x=a$ всегда являются решениями.

2. Произведение строго меньше нуля. Поскольку $(x-a)^2 > 0$ при $x \neq a$, для выполнения неравенства $(x+5)(x-a)^2 < 0$ необходимо, чтобы множитель $x+5$ был отрицателен:

$x+5 < 0 \implies x < -5$.

При этом нужно учесть условие $x \neq a$.

Объединим решения. Общее решение — это $x \in (-\infty, -5] \cup \{a\}$. Теперь рассмотрим, как выглядит это множество в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a > -5$

В этом случае точка $a$ не принадлежит интервалу $(-\infty, -5]$. Множество решений представляет собой объединение луча и изолированной точки.

Решение: $x \in (-\infty, -5] \cup \{a\}$.

Случай 2: $a = -5$

Неравенство принимает вид $(x+5)(x-(-5))^2 \le 0$, то есть $(x+5)^3 \le 0$.

Это неравенство равносильно $x+5 \le 0$, откуда $x \le -5$.

Решение: $x \in (-\infty, -5]$.

Случай 3: $a < -5$

В этом случае точка $a$ принадлежит лучу $(-\infty, -5]$. Объединение $(-\infty, -5] \cup \{a\}$ равно самому лучу $(-\infty, -5]$.

Решение: $x \in (-\infty, -5]$.

Объединив второй и третий случаи, получим окончательный ответ.

Ответ:

Если $a \le -5$, то $x \in (-\infty, -5]$.

Если $a > -5$, то $x \in (-\infty, -5] \cup \{a\}$.