Номер 7, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 7

Обратная функция

1. Какие из функций являются обратимыми:

1) $y = 5x - 4$;

2) $y = x^2$, $D(y) = (-\infty; 3]$;

3) $y = x^2$, $D(y) = (2; +\infty)$?

2. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 2 - 3x$;

2) $y = 1 - \sqrt{x - 4}$.

3. С помощью графика функции $f$, изображённого на рисунке 23, постройте график функции $g$, обратной к функции $f$.

Рис. 23

4. Функция $g$ является обратной к функции $f(x) = x^3 + x - 64$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.

1. Какие из функций являются обратимыми:

Функция является обратимой, если она строго монотонна на всей своей области определения (то есть, строго возрастает или строго убывает). Каждому значению функции должно соответствовать только одно значение аргумента.

1) $y = 5x - 4$

Это линейная функция, её график — прямая линия. Угловой коэффициент $k=5 > 0$, следовательно, функция является строго возрастающей на всей числовой оси. Значит, функция обратима.

2) $y = x^2, D(y) = (-\infty; 3]$

Здесь $D(y)$ обозначает область определения функции, то есть $x \in (-\infty; 3]$. Функция $y=x^2$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Поскольку заданная область определения $(-\infty; 3]$ содержит промежутки как убывания, так и возрастания функции, она не является строго монотонной на этой области. Например, $f(-1) = (-1)^2 = 1$ и $f(1) = 1^2 = 1$. Разным значениям аргумента ($x=-1$ и $x=1$) соответствует одно и то же значение функции. Следовательно, функция не является обратимой на данном промежутке.

3) $y = x^2, D(y) = (2; +\infty)$

Область определения функции $x \in (2; +\infty)$. Этот промежуток является частью промежутка $[0; +\infty)$, на котором функция $y=x^2$ строго возрастает. Следовательно, на области определения $(2; +\infty)$ функция является строго монотонной, а значит, обратимой.

Ответ: обратимыми являются функции 1 и 3.

2. Найдите функцию, обратную к данной:

Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные $x$ и $y$ местами.

1) $y = 2 - 3x$

Выразим $x$ через $y$:

$3x = 2 - y$

$x = \frac{2-y}{3}$

Теперь заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде:

$y = \frac{2-x}{3}$

Ответ: $y = \frac{2-x}{3}$.

2) $y = 1 - \sqrt{x-4}$

Сначала найдем область определения и область значений исходной функции.
Область определения $D(f)$: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$. Итак, $D(f) = [4; +\infty)$.
Область значений $E(f)$: поскольку $\sqrt{x-4} \ge 0$, то $-\sqrt{x-4} \le 0$, и $y = 1 - \sqrt{x-4} \le 1$. Итак, $E(f) = (-\infty; 1]$.

Теперь выразим $x$ через $y$:

$y = 1 - \sqrt{x-4}$

$\sqrt{x-4} = 1 - y$

Возведём обе части в квадрат. Учтём, что $1-y \ge 0$, то есть $y \le 1$, что соответствует найденной области значений $E(f)$.

$x-4 = (1-y)^2$

$x = (1-y)^2 + 4$

Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить обратную функцию $g(x)$:

$y = (1-x)^2 + 4$

Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, то есть $D(g) = E(f) = (-\infty; 1]$.

Ответ: $y = (1-x)^2 + 4$, при $x \in (-\infty; 1]$.

3. С помощью графика функции f, изображённого на рисунке 23, постройте график функции g, обратной к функции f.

График функции $g$, обратной к функции $f$, симметричен графику функции $f$ относительно прямой $y=x$. Чтобы построить график функции $g$, можно выбрать несколько точек на графике $f$, поменять их координаты местами и построить новый график по этим точкам.

Выберем на графике функции $f$ несколько точек с целочисленными координатами:

• $A(-2; 1)$
• $B(0; 0)$
• $C(2; -1)$
• $D(6; -2)$

Для построения графика обратной функции $g$ возьмем точки с инвертированными координатами:

• $A'(1; -2)$
• $B'(0; 0)$
• $C'(-1; 2)$
• $D'(-2; 6)$

Теперь нужно отметить на координатной плоскости точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ и соединить их плавной кривой. Полученный график и будет графиком функции $g$, обратной к $f$. Он будет симметричен исходному графику относительно прямой $y=x$. Исходная функция убывает и выпукла вниз, а обратная функция будет также убывающей, но выпуклой вверх.

Ответ: Для построения графика обратной функции $g$ нужно отразить график функции $f$ симметрично относительно прямой $y=x$. Ключевые точки для графика $g$: $(1; -2)$, $(0; 0)$, $(-1; 2)$, $(-2; 6)$.

4. Функция g является обратной к функции $f(x) = x^3 + x - 64$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.

Найдем производную функции $f(x)$, чтобы определить её монотонность:

$f'(x) = (x^3 + x - 64)' = 3x^2 + 1$

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$, и $f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$. Так как производная функции $f(x)$ всегда положительна, функция является строго возрастающей на всей своей области определения.
Для строго возрастающей функции $f(x)$ её график может пересекаться с графиком обратной функции $g(x) = f^{-1}(x)$ только на прямой $y=x$. Это означает, что равенство $f(x) = g(x)$ выполняется только для тех $x$, для которых $f(x) = x$.

Таким образом, уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = x$.

Решим это уравнение:

$x^3 + x - 64 = x$

$x^3 - 64 = 0$

$x^3 = 64$

$x = \sqrt[3]{64}$

$x = 4$

Проверим решение: $f(4) = 4^3 + 4 - 64 = 64 + 4 - 64 = 4$. Так как $f(4)=4$, точка $(4, 4)$ лежит на графике $f(x)$, а значит, и на прямой $y=x$, и на графике обратной функции $g(x)$. Следовательно, $g(4)=4$, и при $x=4$ выполняется равенство $f(x) = g(x)$.

Ответ: $x=4$.