Номер 14, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Степень с рациональным показателем и её свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $64^{\frac{1}{6}}$; 2) $81^{\frac{3}{4}}$; 3) $\left(1\frac{24}{25}\right)^{1,5}$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = (7 - x)^{1,9}$;

2) $y = (7 - 6x - x^2)^{\frac{2}{3}}$.

3. Упростите выражение:

1) $m^{-2,5} \cdot m^{3,2}$;

2) $m^{\frac{5}{6}} : m^{\frac{7}{8}}$;

3) $(m^{-0,7})^7$;

4) $\left(m^{\frac{3}{5}} n^{0,7}\right)^{\frac{20}{63}}$;

5) $\left(\sqrt[8]{m^{-3}}\right)^{\frac{16}{9}} \cdot \left(m^{\frac{3}{7}}\right)^{\frac{14}{9}}$.

4. Постройте график функции $y = \left((x-2)^{-\frac{1}{5}}\right)^{-5}$ .

5. Упростите выражение

$\frac{x^{\frac{1}{6}}+4}{x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{6}}}-\frac{x^{\frac{1}{6}}+6}{2x^{\frac{1}{6}}+2}+\frac{x^{\frac{1}{3}}+4x^{\frac{1}{6}}-8}{2x^{\frac{1}{3}}+2x^{\frac{1}{6}}}$.

1. Найдите значение выражения:

1) $64^{\frac{1}{6}}$

Представим число 64 как степень числа 2: $64 = 2^6$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$64^{\frac{1}{6}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2.

2) $81^{\frac{3}{4}}$

Представим число 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$.

Ответ: 27.

3) $(1\frac{24}{25})^{1,5}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную, а десятичный показатель степени в обыкновенную дробь:

$1\frac{24}{25} = \frac{25 \cdot 1 + 24}{25} = \frac{49}{25}$

$1,5 = \frac{3}{2}$

Выражение принимает вид $(\frac{49}{25})^{\frac{3}{2}}$.

Представим основание степени $\frac{49}{25}$ как $(\frac{7}{5})^2$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$((\frac{7}{5})^2)^{\frac{3}{2}} = (\frac{7}{5})^{2 \cdot \frac{3}{2}} = (\frac{7}{5})^3 = \frac{7^3}{5^3} = \frac{343}{125}$.

Ответ: $\frac{343}{125}$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = (7 - x)^{1,9}$

Функция вида $y = (f(x))^a$, где $a$ — положительное нецелое число, определена, когда основание степени $f(x)$ неотрицательно.

Показатель $1,9$ является положительным нецелым числом, следовательно, основание степени должно быть больше или равно нулю:

$7 - x \geq 0$

$7 \geq x$, или $x \leq 7$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty, 7]$.

Ответ: $(-\infty, 7]$.

2) $y = (7 - 6x - x^2)^{\frac{2}{3}}$

Показатель степени $\frac{2}{3}$ является положительным нецелым числом, поэтому основание степени должно быть неотрицательным:

$7 - 6x - x^2 \geq 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:

$x^2 + 6x - 7 \leq 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = -7$.

Так как ветви параболы $f(x) = x^2 + 6x - 7$ направлены вверх, неравенство $f(x) \leq 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, $-7 \leq x \leq 1$.

Область определения функции: $D(y) = [-7, 1]$.

Ответ: $[-7, 1]$.

3. Упростите выражение:

1) $m^{-2,5} \cdot m^{3,2}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$):

$m^{-2,5} \cdot m^{3,2} = m^{-2,5 + 3,2} = m^{0,7}$.

Ответ: $m^{0,7}$.

2) $m^{\frac{5}{6}} : m^{\frac{7}{8}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^x : a^y = a^{x-y}$):

$m^{\frac{5}{6} - \frac{7}{8}} = m^{\frac{5 \cdot 4}{24} - \frac{7 \cdot 3}{24}} = m^{\frac{20-21}{24}} = m^{-\frac{1}{24}}$.

Ответ: $m^{-\frac{1}{24}}$.

3) $(m^{-0,7})^7$

При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^x)^y = a^{xy}$):

$(m^{-0,7})^7 = m^{-0,7 \cdot 7} = m^{-4,9}$.

Ответ: $m^{-4,9}$.

4) $(m^{\frac{3}{5}} n^{0,7})^{\frac{20}{63}}$

Используем свойства $(ab)^x = a^x b^x$ и $(a^x)^y = a^{xy}$, представив $0,7 = \frac{7}{10}$:

$(m^{\frac{3}{5}})^{\frac{20}{63}} \cdot (n^{\frac{7}{10}})^{\frac{20}{63}} = m^{\frac{3}{5} \cdot \frac{20}{63}} \cdot n^{\frac{7}{10} \cdot \frac{20}{63}} = m^{\frac{4}{21}} n^{\frac{2}{9}}$.

Ответ: $m^{\frac{4}{21}} n^{\frac{2}{9}}$.

5) $(\sqrt[8]{m^{-3}})^{\frac{16}{9}} \cdot (m^{\frac{3}{7}})^{\frac{14}{9}}$

Представим корень как степень: $\sqrt[8]{m^{-3}} = m^{-\frac{3}{8}}$.

Выражение примет вид: $(m^{-\frac{3}{8}})^{\frac{16}{9}} \cdot (m^{\frac{3}{7}})^{\frac{14}{9}}$.

Перемножим показатели: $m^{-\frac{3}{8} \cdot \frac{16}{9}} \cdot m^{\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{9}} = m^{-\frac{2}{3}} \cdot m^{\frac{2}{3}}$.

Сложим показатели: $m^{-\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} = m^0 = 1$ (при $m \neq 0$).

Ответ: 1.

4. Постройте график функции $y = \left((x-2)^{\frac{1}{5}}\right)^{-5}$

Упростим выражение, задающее функцию: $y = \left((x-2)^{\frac{1}{5}}\right)^{-5} = (x-2)^{\frac{1}{5} \cdot (-5)} = (x-2)^{-1} = \frac{1}{x-2}$.

Область определения исходной функции требует, чтобы основание степени при возведении в отрицательную степень не было равно нулю, т.е. $(x-2)^{\frac{1}{5}} \neq 0$, откуда $x-2 \neq 0$ и $x \neq 2$.

График функции $y = \frac{1}{x-2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо по оси Ox.

Построение графика:

1. Базовый график — гипербола $y = \frac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$.
2. Сдвигаем этот график на 2 единицы вправо.
3. Вертикальная асимптота становится $x=2$.
4. Горизонтальная асимптота остается $y=0$.
5. График проходит через точки, например, $(3, 1)$, $(1, -1)$, $(4, 0.5)$, $(0, -0.5)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$, сдвинутая на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота: $x=2$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

5. Упростите выражение $\frac{x^{\frac{1}{6}}+4}{x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{6}}} - \frac{x^{\frac{1}{6}}+6}{2x^{\frac{1}{6}}+2} + \frac{x^{\frac{1}{3}}+4x^{\frac{1}{6}}-8}{2x^{\frac{1}{3}}+2x^{\frac{1}{6}}}$

Введем замену: пусть $u = x^{\frac{1}{6}}$, тогда $u^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2 = x^{\frac{1}{3}}$. Выражение (при $x > 0$) принимает вид:

$\frac{u+4}{u^2+u} - \frac{u+6}{2u+2} + \frac{u^2+4u-8}{2u^2+2u}$

Разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю $2u(u+1)$:

$\frac{u+4}{u(u+1)} - \frac{u+6}{2(u+1)} + \frac{u^2+4u-8}{2u(u+1)} = \frac{2(u+4)}{2u(u+1)} - \frac{u(u+6)}{2u(u+1)} + \frac{u^2+4u-8}{2u(u+1)}$

Выполним действия в числителе:

$\frac{2(u+4) - u(u+6) + u^2+4u-8}{2u(u+1)} = \frac{2u+8 - u^2-6u + u^2+4u-8}{2u(u+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(-u^2+u^2) + (2u-6u+4u) + (8-8)}{2u(u+1)} = \frac{0}{2u(u+1)} = 0$.

Ответ: 0.