Номер 21, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 21

Периодические функции

1. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 405^{\circ} $;

2) $ \cos \frac{19\pi}{3} $;

3) $ \operatorname{ctg} \left(-\frac{37\pi}{4}\right) $.

2. На рисунке 24 изображена часть графика периодической функции, период которой равен T. Постройте график этой функции на промежутке $[-2T; 2T]$.

Рис. 24

3. Покажите, что число T является периодом функции $f$:

1) $ f(x) = \cos 4x, T = \frac{\pi}{2} $;

2) $ f(x) = \operatorname{ctg} \frac{\pi x}{3}, T = 9 $.

4. Найдите период функции $f(x) = \operatorname{ctg} 5x - \cos \frac{3x}{4}$.

5. Найдите все значения параметра $a$, при которых число $T = \frac{5\pi}{4}$ является периодом функции $f(x) = \sin ax$.

1.

1) Для нахождения значения $\sin 405^\circ$ воспользуемся периодичностью функции синус, период которой равен $360^\circ$.
$\sin 405^\circ = \sin(360^\circ + 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Для нахождения значения $\cos \frac{19\pi}{3}$ воспользуемся периодичностью функции косинус, период которой равен $2\pi$.
$\frac{19\pi}{3} = \frac{18\pi + \pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3} = 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{3}$.
$\cos \frac{19\pi}{3} = \cos(6\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Для нахождения значения $\operatorname{ctg}(-\frac{37\pi}{4})$ воспользуемся нечетностью и периодичностью функции котангенс. Период котангенса равен $\pi$.
$\operatorname{ctg}(-\frac{37\pi}{4}) = -\operatorname{ctg}(\frac{37\pi}{4})$.
$\frac{37\pi}{4} = \frac{36\pi + \pi}{4} = 9\pi + \frac{\pi}{4}$.
$-\operatorname{ctg}(9\pi + \frac{\pi}{4}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.
Ответ: $-1$.

2.

а) График на промежутке $[-2T, 2T]$ состоит из четырех повторений фрагмента, показанного на рисунке. Каждый фрагмент, соответствующий промежутку $(kT, (k+1)T]$ для $k=-2, -1, 0, 1$, начинается с выколотой точки $(kT, -2)$, идет по горизонтали до точки $(kT+T/2, -2)$, а затем плавно поднимается до точки $((k+1)T, 0)$. В силу периодичности, точки $(-2T,0), (-T,0), (0,0), (T,0), (2T,0)$ принадлежат графику.
Ответ: График представляет собой четыре последовательных одинаковых сегмента, поднимающихся от $y=-2$ до $y=0$ на каждом интервале длиной $T$.

б) График на промежутке $[-2T, 2T]$ получается повторением "шапочки", изображенной на промежутке $[-T/2, T/2]$. График представляет собой непрерывную ломаную линию, вершины которой (максимумы) находятся в точках $(-2T, 0), (-T, 0), (0, 0), (T, 0), (2T, 0)$, а нижние точки (минимумы) — в точках $(-\frac{3T}{2}, -2), (-\frac{T}{2}, -2), (\frac{T}{2}, -2), (\frac{3T}{2}, -2)$.
Ответ: График представляет собой непрерывную "пилообразную" волну с вершинами в точках $(kT, 0)$ и впадинами в точках $((k+1/2)T, -2)$ для целых $k$.

3.

1) Чтобы доказать, что число $T = \frac{\pi}{2}$ является периодом функции $f(x) = \cos 4x$, нужно проверить выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.
$f(x+T) = \cos(4(x + \frac{\pi}{2})) = \cos(4x + 4\frac{\pi}{2}) = \cos(4x + 2\pi)$.
Так как функция косинус имеет период $2\pi$, то $\cos(4x + 2\pi) = \cos(4x) = f(x)$.
Равенство выполняется, следовательно, $T = \frac{\pi}{2}$ является периодом функции.
Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что число $T=9$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{ctg}\frac{\pi x}{3}$, нужно проверить выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$.
$f(x+T) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi(x+9)}{3}) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{3} + \frac{9\pi}{3}) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{3} + 3\pi)$.
Так как функция котангенс имеет период $\pi$, то $\operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{3} + 3\pi) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{3}) = f(x)$.
Равенство выполняется, следовательно, $T=9$ является периодом функции.
Ответ: Доказано.

4.

Функция $f(x) = \operatorname{ctg}5x - \cos\frac{3x}{4}$ является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = \operatorname{ctg}5x$ и $f_2(x) = \cos\frac{3x}{4}$.
Найдем основной период для каждой из них.
Для $f_1(x) = \operatorname{ctg}5x$ основной период $T_1 = \frac{\pi}{|5|} = \frac{\pi}{5}$.
Для $f_2(x) = \cos\frac{3x}{4}$ основной период $T_2 = \frac{2\pi}{|3/4|} = \frac{8\pi}{3}$.
Период функции $f(x)$ является наименьшим общим кратным (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{5}, \frac{8\pi}{3})$.
Найдем наименьшие натуральные числа $k$ и $m$, для которых выполняется равенство $k T_1 = m T_2$.
$k \cdot \frac{\pi}{5} = m \cdot \frac{8\pi}{3} \implies \frac{k}{5} = \frac{8m}{3} \implies 3k = 40m$.
Так как 3 и 40 взаимно простые, наименьшие натуральные значения, удовлетворяющие уравнению, это $k=40$ и $m=3$.
Тогда период $T = k T_1 = 40 \cdot \frac{\pi}{5} = 8\pi$.
Проверка: $T = m T_2 = 3 \cdot \frac{8\pi}{3} = 8\pi$.
Ответ: $8\pi$.

5.

Для того чтобы число $T = \frac{5\pi}{4}$ было периодом функции $f(x) = \sin ax$, должно выполняться тождество $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$.
$\sin(a(x+T)) = \sin(ax)$
$\sin(ax + aT) = \sin(ax)$
Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда слагаемое $aT$ является кратным основного периода синуса, то есть $2\pi$.
$aT = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Подставим значение $T = \frac{5\pi}{4}$:
$a \cdot \frac{5\pi}{4} = 2\pi k$
$a = \frac{2\pi k \cdot 4}{5\pi} = \frac{8k}{5}$.
Это условие включает и случай $a=0$ (при $k=0$), когда функция $f(x)=0$ является константой, и любое число является ее периодом.
Ответ: $a = \frac{8k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.