Номер 27, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 27

Формулы двойного, тройного и половинного углов

1. Дано: $ \text{sin}\alpha = -\frac{12}{13} $, $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Найдите:

1) $ \text{sin}2\alpha $;

2) $ \text{cos}2\alpha $;

3) $ \text{tg}4\alpha $.

2. Понизьте степень выражения:

1) $ \text{cos}^2 12x $;

2) $ \text{sin}^2 \left(\frac{\pi}{10} - \beta\right) $.

3. Докажите тождество:

1) $ 2\text{cos}^2 5\alpha - \text{cos}10\alpha = 1 $;

2) $ \text{tg}3\alpha(1 + \text{cos}6\alpha) = \text{sin}6\alpha $.

4. Упростите выражение:

1) $ \frac{2\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - 3\alpha\right) \text{sin}^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right)}{1 - 2\text{sin}^2 3\alpha} $;

2) $ \sqrt{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}\text{cos}10\alpha} $, если $ \frac{\pi}{10} < \alpha < \frac{\pi}{5} $.

5. Найдите значение выражения $ \text{sin}10^\circ(4\text{cos}^2 10^\circ - 1) $.

1. Дано: $ \sin\alpha = -\frac{12}{13} $, $ 180^\circ < \alpha < 270^\circ $.

Поскольку угол $ \alpha $ находится в третьей четверти ($ 180^\circ < \alpha < 270^\circ $), его косинус будет отрицательным. Найдем $ \cos\alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} $.

Следовательно, $ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} $.

1) sin 2α

Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.
$ \sin 2\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{120}{169} $.

Ответ: $ \frac{120}{169} $.

2) cos 2α

Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.
$ \cos 2\alpha = \left(-\frac{5}{13}\right)^2 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169} $.

Ответ: $ -\frac{119}{169} $.

3) tg 4α

Сначала найдем $ \tan 2\alpha $: $ \tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{120/169}{-119/169} = -\frac{120}{119} $.
Теперь используем формулу тангенса двойного угла для $ \tan 4\alpha = \tan(2 \cdot 2\alpha) $:
$ \tan 4\alpha = \frac{2\tan 2\alpha}{1 - \tan^2 2\alpha} = \frac{2 \cdot (-\frac{120}{119})}{1 - (-\frac{120}{119})^2} = \frac{-\frac{240}{119}}{1 - \frac{14400}{14161}} = \frac{-\frac{240}{119}}{\frac{14161 - 14400}{14161}} = \frac{-\frac{240}{119}}{-\frac{239}{14161}} $.

$ \tan 4\alpha = \frac{240}{119} \cdot \frac{14161}{239} = \frac{240}{119} \cdot \frac{119^2}{239} = \frac{240 \cdot 119}{239} = \frac{28560}{239} $.

Ответ: $ \frac{28560}{239} $.

2. Понизьте степень выражения:

1) cos²12x

Используем формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $.
$ \cos^2 12x = \frac{1 + \cos(2 \cdot 12x)}{2} = \frac{1 + \cos 24x}{2} $.

Ответ: $ \frac{1 + \cos 24x}{2} $.

2) sin²($\frac{\pi}{10}$ - β)

Используем формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $.
$ \sin^2\left(\frac{\pi}{10} - \beta\right) = \frac{1 - \cos\left(2\left(\frac{\pi}{10} - \beta\right)\right)}{2} = \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{5} - 2\beta\right)}{2} $.

Ответ: $ \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{5} - 2\beta\right)}{2} $.

3. Докажите тождество:

1) 2cos²5α - cos10α = 1

Преобразуем левую часть тождества, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $. При $ x = 5\alpha $, получаем $ \cos 10\alpha = 2\cos^2 5\alpha - 1 $.
Подставим это в левую часть: $ 2\cos^2 5\alpha - (2\cos^2 5\alpha - 1) = 2\cos^2 5\alpha - 2\cos^2 5\alpha + 1 = 1 $.
$ 1 = 1 $. Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) tg3α(1 + cos6α) = sin6α

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу $ 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x $. При $ x = 3\alpha $ получаем $ 1 + \cos 6\alpha = 2\cos^2 3\alpha $.
Заменяем $ \tan 3\alpha $ на $ \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} $.
Левая часть: $ \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} \cdot (2\cos^2 3\alpha) = 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha $.

По формуле синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $, получаем: $ 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha = \sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin 6\alpha $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4. Упростите выражение:

1) $ \frac{2\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - 3\alpha\right)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right)}{1 - 2\sin^2 3\alpha} $

Упростим знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $:
$ 1 - 2\sin^2 3\alpha = \cos(2 \cdot 3\alpha) = \cos 6\alpha $.

Упростим числитель. Пусть $ \beta = \frac{\pi}{4} - 3\alpha $. Тогда $ \frac{\pi}{4} + 3\alpha = \frac{\pi}{2} - \beta $.
Числитель принимает вид: $ 2\tan\beta \sin^2\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) $.
Используя формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = \cos\beta $, получаем: $ 2\tan\beta \cos^2\beta = 2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\cos^2\beta = 2\sin\beta\cos\beta $.

Это формула синуса двойного угла: $ 2\sin\beta\cos\beta = \sin 2\beta $.
Подставим обратно $ \beta $: $ \sin\left(2\left(\frac{\pi}{4} - 3\alpha\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 6\alpha\right) = \cos 6\alpha $.

Таким образом, всё выражение равно: $ \frac{\cos 6\alpha}{\cos 6\alpha} = 1 $.

Ответ: $ 1 $.

2) $ \sqrt{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}\cos10\alpha} $, если $ \frac{\pi}{10} < \alpha < \frac{\pi}{5} $

Вынесем общий множитель: $ \sqrt{\frac{1}{8}(1 - \cos 10\alpha)} $.

Используем формулу понижения степени $ 1 - \cos 2x = 2\sin^2 x $. При $ 2x = 10\alpha $, $ x = 5\alpha $:
$ \sqrt{\frac{1}{8}(2\sin^2 5\alpha)} = \sqrt{\frac{1}{4}\sin^2 5\alpha} = \left|\frac{1}{2}\sin 5\alpha\right| $.

Определим знак $ \sin 5\alpha $. Из условия $ \frac{\pi}{10} < \alpha < \frac{\pi}{5} $ следует, что $ \frac{5\pi}{10} < 5\alpha < \frac{5\pi}{5} $, то есть $ \frac{\pi}{2} < 5\alpha < \pi $.

В этом интервале (вторая четверть) синус положителен, $ \sin 5\alpha > 0 $. Значит, модуль можно опустить.

Ответ: $ \frac{1}{2}\sin 5\alpha $.

5. Найдите значение выражения $ \sin10^\circ(4\cos^2 10^\circ - 1) $.

Пусть $ x = 10^\circ $. Выражение имеет вид $ \sin x (4\cos^2 x - 1) $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $:
$ \sin x (4(1 - \sin^2 x) - 1) = \sin x (4 - 4\sin^2 x - 1) = \sin x (3 - 4\sin^2 x) $.

Раскроем скобки: $ 3\sin x - 4\sin^3 x $.

Это формула синуса тройного угла: $ \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x $.

Следовательно, наше выражение равно $ \sin(3x) $. Подставим $ x = 10^\circ $:
$ \sin(3 \cdot 10^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.