Номер 26, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 26

Формулы приведения

1. Упростите выражение:

1) $sin(\pi - \alpha);$

2) $tg(\pi - \alpha);$

3) $ctg(\alpha - \frac{3\pi}{2});$

4) $ctg^2(\frac{11\pi}{2} - \alpha).$

2. Найдите значение выражения

$sin(-\frac{7\pi}{6})cos\frac{11\pi}{3}tg(-\frac{15\pi}{4})ctg\frac{8\pi}{3}.$

3. Упростите выражение:

1) $ctg(\pi - \alpha) - sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) + tg(\frac{5\pi}{2} - \alpha) + cos(2\pi - \alpha);$

2) $\frac{cos(\pi - \alpha)sin(\frac{7\pi}{2} + \alpha)cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{ctg(5\pi - \alpha)cos(4\pi - \alpha)tg(3\pi + \alpha)}$

4. Упростите выражение tg 29°tg 30°tg 31° ... tg 61°.

1.

1) Используем формулу приведения для синуса. Угол $ \pi - \alpha $ находится во второй координатной четверти, где синус положителен. Так как в формуле присутствует $ \pi $, название функции не меняется.

$ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $

Ответ: $ \sin(\alpha) $

2) Используем формулу приведения для тангенса. Угол $ \pi - \alpha $ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Название функции не меняется.

$ \text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $

Ответ: $ -\text{tg}(\alpha) $

3) Воспользуемся свойством нечетности котангенса ($ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $), чтобы вынести минус за скобки: $ \text{ctg}(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \text{ctg}(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = -\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $. Теперь применим формулу приведения. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в третьей четверти, где котангенс положителен. Так как в формуле есть $ \frac{3\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию (тангенс).

$ -\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $

Ответ: $ -\text{tg}(\alpha) $

4) Упростим угол, отбросив полные периоды. Период котангенса равен $ \pi $. $ \frac{11\pi}{2} = 5\pi + \frac{\pi}{2} $. Отбросив $ 5\pi $, получаем: $ \text{ctg}^2(\frac{11\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в первой четверти, где все функции положительны, а название функции меняется на кофункцию.

$ \text{ctg}^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) = (\text{tg}(\alpha))^2 = \text{tg}^2(\alpha) $

Ответ: $ \text{tg}^2(\alpha) $

2.

Для нахождения значения выражения $ \sin(-\frac{7\pi}{6})\cos(\frac{11\pi}{3})\text{tg}(-\frac{15\pi}{4})\text{ctg}(\frac{8\pi}{3}) $ вычислим значение каждого множителя по отдельности:

$ \sin(-\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -(-\sin(\frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $

$ \cos(\frac{11\pi}{3}) = \cos(\frac{12\pi - \pi}{3}) = \cos(4\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

$ \text{tg}(-\frac{15\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{15\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{16\pi - \pi}{4}) = -\text{tg}(4\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $

$ \text{ctg}(\frac{8\pi}{3}) = \text{ctg}(\frac{6\pi + 2\pi}{3}) = \text{ctg}(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = \text{ctg}(\frac{2\pi}{3}) = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} $

Теперь перемножим полученные значения: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{1}{4\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{12} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{12} $

3.

1) Упростим каждое слагаемое в выражении $ \text{ctg}(\pi - \alpha) - \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) + \text{tg}(\frac{5\pi}{2} - \alpha) + \cos(2\pi - \alpha) $:

$ \text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $

$ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha) $

$ \text{tg}(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $

$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $

Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение: $ -\text{ctg}(\alpha) - (-\cos(\alpha)) + \text{ctg}(\alpha) + \cos(\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) + \cos(\alpha) + \text{ctg}(\alpha) + \cos(\alpha) = 2\cos(\alpha) $.

Ответ: $ 2\cos(\alpha) $

2) Упростим числитель и знаменатель дроби $ \frac{\cos(\pi - \alpha)\sin(\frac{7\pi}{2} + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\text{ctg}(5\pi - \alpha)\cos(4\pi - \alpha)\text{tg}(3\pi + \alpha)} $.

Числитель: $ \cos(\pi - \alpha)\sin(\frac{7\pi}{2} + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = (-\cos(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) = -\cos^2(\alpha)\sin(\alpha) $.

Знаменатель: $ \text{ctg}(5\pi - \alpha)\cos(4\pi - \alpha)\text{tg}(3\pi + \alpha) = (-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (\cos(\alpha)) \cdot (\text{tg}(\alpha)) $. Так как $ \text{ctg}(\alpha)\text{tg}(\alpha)=1 $, знаменатель равен $ -\cos(\alpha) $.

Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{-\cos^2(\alpha)\sin(\alpha)}{-\cos(\alpha)} = \cos(\alpha)\sin(\alpha) $.

Ответ: $ \cos(\alpha)\sin(\alpha) $

4.

Рассмотрим произведение $ \text{tg}\,29^\circ \cdot \text{tg}\,30^\circ \cdot \text{tg}\,31^\circ \cdot \ldots \cdot \text{tg}\,61^\circ $. Воспользуемся формулой приведения $ \text{tg}(90^\circ - x) = \text{ctg}(x) $, из которой следует тождество $ \text{tg}(x) \cdot \text{tg}(90^\circ - x) = \text{tg}(x) \cdot \text{ctg}(x) = 1 $.

Сгруппируем множители в произведении в пары так, чтобы сумма углов в каждой паре была равна $ 90^\circ $:

$ (\text{tg}\,29^\circ \cdot \text{tg}\,61^\circ) \cdot (\text{tg}\,30^\circ \cdot \text{tg}\,60^\circ) \cdot \ldots \cdot (\text{tg}\,44^\circ \cdot \text{tg}\,46^\circ) \cdot \text{tg}\,45^\circ $.

Произведение в каждой паре равно 1. Например, $ \text{tg}\,29^\circ \cdot \text{tg}\,61^\circ = \text{tg}\,29^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 29^\circ) = \text{tg}\,29^\circ \cdot \text{ctg}\,29^\circ = 1 $.

В произведении остается единственный множитель, не имеющий пары: $ \text{tg}\,45^\circ $.

Таким образом, всё выражение равно произведению нескольких единиц и $ \text{tg}\,45^\circ $. Так как $ \text{tg}\,45^\circ = 1 $, то итоговый результат равен 1.

Ответ: $ 1 $