Номер 29, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 29

Уравнение $ \cos x = b $

1. Решите уравнение:

1) $ \cos \frac{3x}{7} = 0; $

2) $ \cos(5 - 6x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

3) $ \cos \frac{7\pi x}{8} = \frac{1}{2}; $

4) $ \cos \left(5x - \frac{\pi}{5}\right) = -\frac{\pi}{2}; $

5) $ 5\cos \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0. $

2. Найдите все корни уравнения $ \cos \left(6x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2} $, удовлетворяющие неравенству $ -\frac{\pi}{12} < x < \frac{3\pi}{8} $.

3. Определите количество корней уравнения $ \cos x = a $ на промежутке $ \left[-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right] $ в зависимости от значения параметра $ a $.

1.

1) $\cos{\frac{3x}{7}} = 0$
Это частный случай уравнения $\cos{t} = 0$, решение которого $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = \frac{3x}{7}$.
$\frac{3x}{7} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Выразим $x$:
$x = \frac{7}{3} \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = \frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(5 - 6x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение уравнения $\cos{t} = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$5 - 6x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$
Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, получаем:
$5 - 6x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
$-6x = -5 \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{5}{6} \mp \frac{5\pi}{36} - \frac{2\pi n}{6} = \frac{5}{6} \mp \frac{5\pi}{36} - \frac{\pi n}{3}$.
Заменив $-n$ на $k$, где $k \in \mathbb{Z}$, можно записать ответ в виде:
$x = \frac{5}{6} \pm \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{5}{6} \pm \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos{\frac{7\pi x}{8}} = \frac{1}{2}$
$\frac{7\pi x}{8} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$\frac{7\pi x}{8} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \frac{8}{7\pi} \left(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right)$
$x = \pm \frac{8\pi}{21\pi} + \frac{16\pi n}{7\pi} = \pm \frac{8}{21} + \frac{16n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{8}{21} + \frac{16n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos(5x - \frac{\pi}{5}) = -\frac{\pi}{2}$
Область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$.
Значение $\pi \approx 3.14$, следовательно $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$.
Так как $-\frac{\pi}{2} < -1$, то правая часть уравнения не входит в область значений косинуса.
Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: Корней нет.

5) $5\cos(3x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$
Преобразуем уравнение:
$5\cos(3x - \frac{\pi}{4}) = 1$
$\cos(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{5}$
$3x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$3x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{12} \pm \frac{1}{3}\arccos(\frac{1}{5}) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} \pm \frac{1}{3}\arccos(\frac{1}{5}) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2.
Сначала решим уравнение $\cos(6x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$.
$6x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$6x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$6x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{24} \pm \frac{2\pi}{18} + \frac{2\pi n}{6} = \frac{\pi}{24} \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$.
Получаем две серии корней:
1) $x_1 = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} = \frac{3\pi + 8\pi}{72} + \frac{24\pi n}{72} = \frac{11\pi + 24\pi n}{72}$
2) $x_2 = \frac{\pi}{24} - \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} = \frac{3\pi - 8\pi}{72} + \frac{24\pi n}{72} = \frac{-5\pi + 24\pi n}{72}$
Теперь найдем корни, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{12} < x < \frac{3\pi}{8}$. Приведем границы неравенства к знаменателю 72: $-\frac{6\pi}{72} < x < \frac{27\pi}{72}$.
Для первой серии корней:
$-\frac{6\pi}{72} < \frac{11\pi + 24\pi n}{72} < \frac{27\pi}{72}$
$-6 < 11 + 24n < 27 \implies -17 < 24n < 16 \implies -\frac{17}{24} < n < \frac{16}{24}$.
Единственное целое значение $n$ в этом интервале – это $n=0$. При $n=0$ корень $x = \frac{11\pi}{72}$.
Для второй серии корней:
$-\frac{6\pi}{72} < \frac{-5\pi + 24\pi n}{72} < \frac{27\pi}{72}$
$-6 < -5 + 24n < 27 \implies -1 < 24n < 32 \implies -\frac{1}{24} < n < \frac{32}{24}$.
Целые значения $n$ в этом интервале – это $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$ корень $x = -\frac{5\pi}{72}$.
При $n=1$ корень $x = \frac{-5\pi + 24\pi}{72} = \frac{19\pi}{72}$.
Таким образом, все корни, удовлетворяющие условию, это $-\frac{5\pi}{72}, \frac{11\pi}{72}, \frac{19\pi}{72}$.
Ответ: $-\frac{5\pi}{72}, \frac{11\pi}{72}, \frac{19\pi}{72}$.

3.
Нужно определить количество корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $[-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ в зависимости от параметра $a$.
Рассмотрим поведение функции $y = \cos x$ на данном промежутке.
Значения на концах промежутка:
$\cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
На промежутке $[-\frac{3\pi}{4}, 0]$ функция $\cos x$ возрастает от $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ до своего максимума $1$ (в точке $x=0$).
На промежутке $[0, \frac{\pi}{3}]$ функция $\cos x$ убывает от $1$ до $\frac{1}{2}$.
Область значений функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ равна $[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.
Количество корней уравнения равно числу точек пересечения графика функции $y=\cos x$ на данном отрезке с горизонтальной прямой $y=a$.
1. Если $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $a > 1$, то прямая $y=a$ не пересекает график. Корней нет.
2. Если $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то прямая $y=a$ пересекает график в одной точке $x = -\frac{3\pi}{4}$. Один корень.
3. Если $-\frac{\sqrt{2}}{2} < a < \frac{1}{2}$, то прямая $y=a$ пересекает график в одной точке на интервале возрастания $(-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{3})$. Один корень.
4. Если $a = \frac{1}{2}$, то прямая $y=a$ пересекает график в двух точках: $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3}$. Два корня.
5. Если $\frac{1}{2} < a < 1$, то прямая $y=a$ пересекает график в двух точках: на интервале возрастания $(-\frac{\pi}{3}, 0)$ и на интервале убывания $(0, \frac{\pi}{3})$. Два корня.
6. Если $a = 1$, то прямая $y=a$ касается графика в точке максимума $x=0$. Один корень.
Систематизируем результаты:

• при $a \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1, \infty)$ — нет корней;
• при $a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}) \cup \{1\}$ — один корень;
• при $a \in [\frac{1}{2}, 1)$ — два корня.

Ответ: при $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $a > 1$ корней нет; при $a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}) \cup \{1\}$ — один корень; при $a \in [\frac{1}{2}, 1)$ — два корня.