Номер 35, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 35

О равносильных переходах

при решении тригонометрических уравнений

Решите уравнение:

1) $\frac{\sin 8x}{1 - \cos 8x} = 0;$

2) $\frac{\cos 6x - \cos 2x}{\sin 6x - \sin 2x} = 0;$

3) $\sin x \sqrt{\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0;$

4) $5\operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 2\operatorname{ctg} x + 5.$

1) Исходное уравнение $\frac{\sin 8x}{1 - \cos 8x} = 0$ равносильно одновременному выполнению двух условий: числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} \sin 8x = 0 \\ 1 - \cos 8x \neq 0 \end{cases}$

Можно пойти другим путем, упростив выражение. Используя формулы двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $1-\cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$, и полагая $\alpha=4x$, получаем:

$\frac{2\sin 4x \cos 4x}{2\sin^2 4x} = 0$

Это выражение можно сократить на $2\sin 4x$, при условии, что $\sin 4x \neq 0$. После сокращения получаем:

$\frac{\cos 4x}{\sin 4x} = 0$, то есть $\cot 4x = 0$.

Решением уравнения $\cot 4x = 0$ является серия корней:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$

Теперь проверим условие $\sin 4x \neq 0$, при котором наше преобразование было корректным. Если $4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то $\sin 4x = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi n) = (-1)^n$. Так как $(-1)^n$ никогда не равно нулю, условие выполняется для всех найденных корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Для решения уравнения $\frac{\cos 6x - \cos 2x}{\sin 6x - \sin 2x} = 0$ воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

Применив эти формулы к нашему уравнению, получим:

$\frac{-2\sin\frac{6x+2x}{2}\sin\frac{6x-2x}{2}}{2\sin\frac{6x-2x}{2}\cos\frac{6x+2x}{2}} = 0$

$\frac{-2\sin 4x \sin 2x}{2\sin 2x \cos 4x} = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{-\sin 4x}{\cos 4x} = 0 \\ \sin 2x \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение системы: $-\tan 4x = 0$, откуда $\tan 4x = 0$.

$4x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$

Теперь подставим найденные значения $x$ в условие $\sin 2x \neq 0$, чтобы исключить посторонние корни.

$\sin(2 \cdot \frac{\pi n}{4}) = \sin(\frac{\pi n}{2}) \neq 0$

Выражение $\sin(\frac{\pi n}{2})$ обращается в ноль, когда $n$ является четным числом ($n = 2k, k \in \mathbb{Z}$). Следовательно, из всех целых $n$ мы должны оставить только нечетные.

Пусть $n = 2k+1, k \in \mathbb{Z}$. Тогда решениями будут:

$x = \frac{\pi(2k+1)}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi(2k+1)}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Уравнение $\sin x \sqrt{\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0$ распадается на совокупность двух систем. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом имеет смысл.

Случай 1: Второй множитель равен нулю.

$\sqrt{\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0 \implies \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решения этого уравнения: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: Первый множитель равен нулю, а второй существует (подкоренное выражение неотрицательно).

$\begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0 \end{cases}$

Решаем уравнение $\sin x = 0$: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверяем для этих корней выполнение неравенства $\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$.

Если $k$ — четное число, т.е. $k=2m, m \in \mathbb{Z}$, то $x = 2\pi m$. Тогда $\cos(2\pi m) = 1$. Неравенство $1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$ выполняется. Следовательно, $x = 2\pi m$ — это решения.

Если $k$ — нечетное число, т.е. $k=2m+1, m \in \mathbb{Z}$, то $x = \pi(2m+1)$. Тогда $\cos(\pi(2m+1)) = -1$. Неравенство $-1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$ не выполняется, так как $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$. Следовательно, эти корни являются посторонними.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = 2\pi n, x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $5\tg(x - \frac{\pi}{4}) = 2\ctg x + 5$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования тангенса и котангенса: $x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $x \neq \pi n$, где $k,n \in \mathbb{Z}$. Это равносильно $x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k$ и $x \neq \pi n$.

Используем формулу тангенса разности $\tg(\alpha-\beta) = \frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}$ и связь $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$.

$\tg(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tg x - \tg(\frac{\pi}{4})}{1 + \tg x \tg(\frac{\pi}{4})} = \frac{\tg x - 1}{1 + \tg x}$.

Подставляем в исходное уравнение:

$5 \cdot \frac{\tg x - 1}{1 + \tg x} = \frac{2}{\tg x} + 5$.

Сделаем замену $t = \tg x$. Учитывая ОДЗ, $t \neq 0$ и $1+t \neq 0 \implies t \neq -1$.

$5 \cdot \frac{t - 1}{t + 1} = \frac{2}{t} + 5$

$5 \frac{t - 1}{t + 1} = \frac{2 + 5t}{t}$

Умножим обе части на $t(t+1) \neq 0$:

$5t(t-1) = (2+5t)(t+1)$

$5t^2 - 5t = 2t + 2 + 5t^2 + 5t$

$5t^2 - 5t = 5t^2 + 7t + 2$

$-5t = 7t + 2$

$-12t = 2$

$t = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.

Это значение удовлетворяет условиям $t \neq 0$ и $t \neq -1$.

Возвращаемся к замене: $\tg x = -\frac{1}{6}$.

Отсюда $x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арктангенса $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$, получаем:

$x = -\operatorname{arctg}\frac{1}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\operatorname{arctg}\frac{1}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.