Страница 99 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 35

О равносильных переходах

при решении тригонометрических уравнений

Решите уравнение:

1) $\frac{\sin 8x}{1 - \cos 8x} = 0;$

2) $\frac{\cos 6x - \cos 2x}{\sin 6x - \sin 2x} = 0;$

3) $\sin x \sqrt{\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0;$

4) $5\operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 2\operatorname{ctg} x + 5.$

1) Исходное уравнение $\frac{\sin 8x}{1 - \cos 8x} = 0$ равносильно одновременному выполнению двух условий: числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} \sin 8x = 0 \\ 1 - \cos 8x \neq 0 \end{cases}$

Можно пойти другим путем, упростив выражение. Используя формулы двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $1-\cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$, и полагая $\alpha=4x$, получаем:

$\frac{2\sin 4x \cos 4x}{2\sin^2 4x} = 0$

Это выражение можно сократить на $2\sin 4x$, при условии, что $\sin 4x \neq 0$. После сокращения получаем:

$\frac{\cos 4x}{\sin 4x} = 0$, то есть $\cot 4x = 0$.

Решением уравнения $\cot 4x = 0$ является серия корней:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$

Теперь проверим условие $\sin 4x \neq 0$, при котором наше преобразование было корректным. Если $4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то $\sin 4x = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi n) = (-1)^n$. Так как $(-1)^n$ никогда не равно нулю, условие выполняется для всех найденных корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Для решения уравнения $\frac{\cos 6x - \cos 2x}{\sin 6x - \sin 2x} = 0$ воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

Применив эти формулы к нашему уравнению, получим:

$\frac{-2\sin\frac{6x+2x}{2}\sin\frac{6x-2x}{2}}{2\sin\frac{6x-2x}{2}\cos\frac{6x+2x}{2}} = 0$

$\frac{-2\sin 4x \sin 2x}{2\sin 2x \cos 4x} = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{-\sin 4x}{\cos 4x} = 0 \\ \sin 2x \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение системы: $-\tan 4x = 0$, откуда $\tan 4x = 0$.

$4x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$

Теперь подставим найденные значения $x$ в условие $\sin 2x \neq 0$, чтобы исключить посторонние корни.

$\sin(2 \cdot \frac{\pi n}{4}) = \sin(\frac{\pi n}{2}) \neq 0$

Выражение $\sin(\frac{\pi n}{2})$ обращается в ноль, когда $n$ является четным числом ($n = 2k, k \in \mathbb{Z}$). Следовательно, из всех целых $n$ мы должны оставить только нечетные.

Пусть $n = 2k+1, k \in \mathbb{Z}$. Тогда решениями будут:

$x = \frac{\pi(2k+1)}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi(2k+1)}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Уравнение $\sin x \sqrt{\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0$ распадается на совокупность двух систем. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом имеет смысл.

Случай 1: Второй множитель равен нулю.

$\sqrt{\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0 \implies \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решения этого уравнения: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: Первый множитель равен нулю, а второй существует (подкоренное выражение неотрицательно).

$\begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0 \end{cases}$

Решаем уравнение $\sin x = 0$: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверяем для этих корней выполнение неравенства $\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$.

Если $k$ — четное число, т.е. $k=2m, m \in \mathbb{Z}$, то $x = 2\pi m$. Тогда $\cos(2\pi m) = 1$. Неравенство $1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$ выполняется. Следовательно, $x = 2\pi m$ — это решения.

Если $k$ — нечетное число, т.е. $k=2m+1, m \in \mathbb{Z}$, то $x = \pi(2m+1)$. Тогда $\cos(\pi(2m+1)) = -1$. Неравенство $-1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$ не выполняется, так как $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$. Следовательно, эти корни являются посторонними.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = 2\pi n, x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $5\tg(x - \frac{\pi}{4}) = 2\ctg x + 5$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования тангенса и котангенса: $x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $x \neq \pi n$, где $k,n \in \mathbb{Z}$. Это равносильно $x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k$ и $x \neq \pi n$.

Используем формулу тангенса разности $\tg(\alpha-\beta) = \frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}$ и связь $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$.

$\tg(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tg x - \tg(\frac{\pi}{4})}{1 + \tg x \tg(\frac{\pi}{4})} = \frac{\tg x - 1}{1 + \tg x}$.

Подставляем в исходное уравнение:

$5 \cdot \frac{\tg x - 1}{1 + \tg x} = \frac{2}{\tg x} + 5$.

Сделаем замену $t = \tg x$. Учитывая ОДЗ, $t \neq 0$ и $1+t \neq 0 \implies t \neq -1$.

$5 \cdot \frac{t - 1}{t + 1} = \frac{2}{t} + 5$

$5 \frac{t - 1}{t + 1} = \frac{2 + 5t}{t}$

Умножим обе части на $t(t+1) \neq 0$:

$5t(t-1) = (2+5t)(t+1)$

$5t^2 - 5t = 2t + 2 + 5t^2 + 5t$

$5t^2 - 5t = 5t^2 + 7t + 2$

$-5t = 7t + 2$

$-12t = 2$

$t = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.

Это значение удовлетворяет условиям $t \neq 0$ и $t \neq -1$.

Возвращаемся к замене: $\tg x = -\frac{1}{6}$.

Отсюда $x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арктангенса $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$, получаем:

$x = -\operatorname{arctg}\frac{1}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\operatorname{arctg}\frac{1}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Самостоятельная работа № 36

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство:

1) $\cos 4x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\operatorname{ctg}\left(\frac{5x}{4} - \frac{\pi}{6}\right) \ge 1$;

3) $-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

4) $|\operatorname{tg} x| \ge \frac{\sqrt{3}}{3}$;

5) $\cos 2x(2\sin x - \sqrt{3}) < 0$.

1) Решим неравенство $ \cos 4x \le \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Сделаем замену $ t = 4x $. Неравенство примет вид $ \cos t \le \frac{\sqrt{3}}{2} $.
На единичной окружности косинус - это абсцисса (координата по оси x). Нам нужны точки, у которых абсцисса меньше или равна $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Найдём углы, для которых $ \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это $ t = \frac{\pi}{6} $ и $ t = -\frac{\pi}{6} $ (или $ t = \frac{11\pi}{6} $).
Решением неравенства $ \cos t \le \frac{\sqrt{3}}{2} $ является дуга окружности от $ \frac{\pi}{6} $ до $ \frac{11\pi}{6} $ против часовой стрелки.
С учётом периодичности косинуса, общее решение для $ t $: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Вернёмся к переменной $ x $: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 4x \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi n $.
Разделим все части неравенства на 4: $ \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi n}{4} \le x \le \frac{11\pi}{24} + \frac{2\pi n}{4} $.
$ \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} \le x \le \frac{11\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} $.
Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}; \frac{11\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}], n \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \text{ctg}(\frac{5x}{4} - \frac{\pi}{6}) \ge 1 $.
Сделаем замену $ t = \frac{5x}{4} - \frac{\pi}{6} $. Неравенство примет вид $ \text{ctg} t \ge 1 $.
Функция котангенса является убывающей на своей области определения. Период котангенса равен $ \pi $.
Найдём угол, для которого $ \text{ctg} t = 1 $. Это $ t = \frac{\pi}{4} $.
Котангенс не определён в точках $ t = \pi n $.
Решением неравенства $ \text{ctg} t \ge 1 $ на одном периоде $ (0, \pi) $ является интервал $ (0; \frac{\pi}{4}] $.
С учётом периодичности, общее решение для $ t $: $ \pi n < t \le \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Вернёмся к переменной $ x $: $ \pi n < \frac{5x}{4} - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{4} + \pi n $.
Прибавим ко всем частям $ \frac{\pi}{6} $: $ \frac{\pi}{6} + \pi n < \frac{5x}{4} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi n $.
$ \frac{\pi}{6} + \pi n < \frac{5x}{4} \le \frac{3\pi + 2\pi}{12} + \pi n $.
$ \frac{\pi}{6} + \pi n < \frac{5x}{4} \le \frac{5\pi}{12} + \pi n $.
Умножим все части на $ \frac{4}{5} $: $ \frac{4}{5}(\frac{\pi}{6} + \pi n) < x \le \frac{4}{5}(\frac{5\pi}{12} + \pi n) $.
$ \frac{4\pi}{30} + \frac{4\pi n}{5} < x \le \frac{20\pi}{60} + \frac{4\pi n}{5} $.
$ \frac{2\pi}{15} + \frac{4\pi n}{5} < x \le \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi n}{5} $.
Ответ: $ x \in (\frac{2\pi}{15} + \frac{4\pi n}{5}; \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi n}{5}], n \in \mathbb{Z} $.

3) Решим двойное неравенство $ -\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} $.
На единичной окружности синус - это ордината (координата по оси y). Нам нужны точки, у которых ордината строго больше $ -\frac{1}{2} $ и строго меньше $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Найдём углы, для которых $ \sin x = -\frac{1}{2} $. Это $ x = -\frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{7\pi}{6} $.
Найдём углы, для которых $ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это $ x = \frac{\pi}{3} $ и $ x = \frac{2\pi}{3} $.
На окружности получаем две дуги, удовлетворяющие условию:
1. От $ -\frac{\pi}{6} $ до $ \frac{\pi}{3} $.
2. От $ \frac{2\pi}{3} $ до $ \frac{7\pi}{6} $.
С учётом периодичности синуса (период $ 2\pi $), получаем два семейства решений:
1. $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
2. $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Объединим эти два семейства решений.
Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n) \cup (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{7\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ |\text{tg} x| \ge \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$ \text{tg} x \ge \frac{\sqrt{3}}{3} $ или $ \text{tg} x \le -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Решим первое неравенство: $ \text{tg} x \ge \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Функция тангенса является возрастающей на своей области определения. Период тангенса равен $ \pi $.
$ \text{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} $ при $ x = \frac{\pi}{6} $. Тангенс не определён при $ x = \frac{\pi}{2} $.
Решение: $ \frac{\pi}{6} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Решим второе неравенство: $ \text{tg} x \le -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
$ \text{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} $ при $ x = -\frac{\pi}{6} $.
Решение: $ -\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n) \cup (-\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{6} + \pi n], n \in \mathbb{Z} $.

5) Решим неравенство $ \cos 2x (2\sin x - \sqrt{3}) < 0 $.
Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $ \cos 2x > 0 $ и $ 2\sin x - \sqrt{3} < 0 $.
$ \cos 2x > 0 \implies -\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies -\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k $.
$ 2\sin x - \sqrt{3} < 0 \implies \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} \implies -\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k $.
Найдём пересечение этих решений. На промежутке $ x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k) $, условие $ \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} $ всегда выполняется (так как максимальное значение $ \sin x $ на этих интервалах - это $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, что меньше $ \frac{\sqrt{3}}{2} $).
Следовательно, решением в этом случае является $ -\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k $.
Случай 2: $ \cos 2x < 0 $ и $ 2\sin x - \sqrt{3} > 0 $.
$ \cos 2x < 0 \implies \frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \implies \frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{3\pi}{4} + \pi k $.
$ 2\sin x - \sqrt{3} > 0 \implies \sin x > \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $.
Найдём пересечение этих решений. Для $ k=0 $ пересекаем интервалы $ (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}) $ и $ (\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}) $.
Пересечением является интервал $ (\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}) $.
Следовательно, решением в этом случае является $ \frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $.
Объединим решения обоих случаев.
Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n) \cup (\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

Самостоятельная работа № 37

Определение предела функции в точке и функции, непрерывной в точке

1. Для каждой из функций, графики которых изображены на рисунке 25, установите:

1) определена ли эта функция в точке $x_0$;

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен;

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке.

Рис. 25

2. Построив график функции $f(x) = \begin{cases} 4 - 2x, \text{ если } x < -1, \\ x^2 + 5, \text{ если } x \ge -1, \end{cases}$ выясните, является ли функция $f$ непрерывной в точке $x_0 = -1$.

3. Вычислите предел:

1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \operatorname{ctg} 3x;$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 5x}{3x - 2\sqrt{x}};$

3) $\lim_{x \to 6} \frac{x^2 - 7x + 6}{x^2 - 36}.$

1. Для каждой из функций, графики которых изображены на рисунке 25, установите:

График а

1) определена ли эта функция в точке $x_0$

Да, функция определена в точке $x_0$. На графике в этой точке изображена закрашенная точка, которой соответствует значение функции $f(x_0)$.

Ответ: Да, определена.

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен

Да, предел существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ как слева ($x \to x_0^-$), так и справа ($x \to x_0^+$), значения функции $f(x)$ стремятся к одному и тому же числу $f(x_0)$. Следовательно, предел функции в точке $x_0$ существует и равен $f(x_0)$.

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Ответ: Да, существует, $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке

Да, как показано в предыдущем пункте, предел функции в точке $x_0$ равен значению функции в этой же точке. Это означает, что функция непрерывна в точке $x_0$.

Ответ: Да, равен.

График б

1) определена ли эта функция в точке $x_0$

Да, функция определена в точке $x_0$. На графике в этой точке изображена закрашенная точка, значение которой обозначено как $f(x_0)$.

Ответ: Да, определена.

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен

Да, предел существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к значению $a$ (которому на графике соответствует выколотая точка). Левый и правый пределы равны, следовательно, предел функции в точке $x_0$ существует и равен $a$.

$\lim_{x \to x_0} f(x) = a$

Ответ: Да, существует, $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$.

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке

Нет, предел не равен значению функции. Из графика видно, что $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$, а значение функции $f(x_0)$ — это ордината закрашенной точки, и $f(x_0) \neq a$. В точке $x_0$ функция имеет устранимый разрыв.

Ответ: Нет, не равен.

График в

1) определена ли эта функция в точке $x_0$

Нет, функция не определена в точке $x_0$. Прямая $x = x_0$ является вертикальной асимптотой для графика функции.

Ответ: Нет, не определена.

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен

Конечный предел функции в точке $x_0$ не существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ как слева, так и справа, значения функции неограниченно возрастают, то есть стремятся к бесконечности.

$\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$

Ответ: Нет, конечный предел не существует.

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке

Так как конечный предел в точке $x_0$ не существует и функция в этой точке не определена, то сравнение невозможно. В точке $x_0$ функция имеет разрыв второго рода.

Ответ: Вопрос некорректен, так как предел не существует и функция не определена.

2. Построив график функции $f(x) = \begin{cases} 4 - 2x, & \text{если } x < -1 \\ x^2 + 5, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$, выясните, является ли функция $f$ непрерывной в точке $x_0 = -1$.

1. Построим график функции.
Для $x < -1$ график представляет собой часть прямой $y = 4 - 2x$. На границе области, в точке $x=-1$, значение было бы $y=4-2(-1)=6$. Так как неравенство строгое, в точке $(-1, 6)$ будет выколотая точка.
Для $x \ge -1$ график представляет собой часть параболы $y = x^2 + 5$. В точке $x=-1$ имеем $y=(-1)^2+5=6$. Точка $(-1, 6)$ принадлежит этому участку графика.

2. Проверим непрерывность функции в точке $x_0 = -1$.
Функция непрерывна в точке, если значение функции в этой точке равно её пределу в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:
Так как $x_0 = -1$ удовлетворяет условию $x \ge -1$, используем вторую формулу: $f(-1) = (-1)^2 + 5 = 1 + 5 = 6$.
Найдем предел функции при $x \to -1$. Для этого вычислим односторонние пределы.
Предел слева (при $x \to -1^-$):
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (4 - 2x) = 4 - 2(-1) = 4 + 2 = 6$.
Предел справа (при $x \to -1^+$):
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x^2 + 5) = (-1)^2 + 5 = 1 + 5 = 6$.
Так как левый и правый пределы равны, то предел функции в точке $x_0 = -1$ существует и равен 6: $\lim_{x \to -1} f(x) = 6$.
Сравним значение функции и предел в точке $x_0 = -1$:
$f(-1) = 6$ и $\lim_{x \to -1} f(x) = 6$.
Поскольку $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$, функция является непрерывной в точке $x_0 = -1$.

Ответ: Да, функция является непрерывной в точке $x_0 = -1$.

3. Вычислите предел:

1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \text{ctg}(3x)$

Функция $y = \text{ctg}(u)$ непрерывна в своей области определения. Подставим предельное значение аргумента $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение под знаком предела, так как оно входит в область определения:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \text{ctg}(3x) = \text{ctg}(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Ответ: 0.

2) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 5x}{3x - 2\sqrt{x}}$

При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для её раскрытия вынесем $\sqrt{x}$ за скобки в числителе и знаменателе (учитывая, что $x = (\sqrt{x})^2$):

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 5x}{3x - 2\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}(2 - 5\sqrt{x})}{\sqrt{x}(3\sqrt{x} - 2)}$.

Сократим дробь на $\sqrt{x}$ (так как $x \to 0$, но $x \neq 0$):

$\lim_{x \to 0} \frac{2 - 5\sqrt{x}}{3\sqrt{x} - 2} = \frac{2 - 5\sqrt{0}}{3\sqrt{0} - 2} = \frac{2 - 0}{0 - 2} = -1$.

Ответ: -1.

3) $\lim_{x \to 6} \frac{x^2 - 7x + 6}{x^2 - 36}$

При подстановке $x=6$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители.

Знаменатель $x^2 - 36$ разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$.

Числитель $x^2 - 7x + 6$ разложим на множители, найдя корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны 1 и 6. Таким образом, $x^2 - 7x + 6 = (x-1)(x-6)$.

Подставим разложения в предел и сократим на $(x-6)$:

$\lim_{x \to 6} \frac{(x-1)(x-6)}{(x-6)(x+6)} = \lim_{x \to 6} \frac{x-1}{x+6}$.

Теперь подставим $x=6$:

$\frac{6-1}{6+6} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.