Страница 102 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 40

Правила вычисления производных

1. Найдите производную функции:

1) $y = 5x^{10} + 4x^8 - 2x^3 + 7$;

2) $y = \cos x - \operatorname{tg} x$;

3) $y = \sqrt{x}(5x - 1)$;

4) $y = \frac{x+4}{\sqrt{x}}$;

5) $y = \sqrt[3]{3x^3 + 2x}$;

6) $y = x^3 \cos \frac{3}{x}$.

2. Найдите производную функции $f(x) = |x^2 - 6x|$ в точках $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

1) $y = 5x^{10} + 4x^8 - 2x^3 + 7$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная константы равна нулю.

$y' = (5x^{10} + 4x^8 - 2x^3 + 7)' = (5x^{10})' + (4x^8)' - (2x^3)' + (7)'$

$y' = 5 \cdot 10x^{9} + 4 \cdot 8x^{7} - 2 \cdot 3x^{2} + 0$

$y' = 50x^9 + 32x^7 - 6x^2$

Ответ: $50x^9 + 32x^7 - 6x^2$.

2) $y = \cos x - \operatorname{tg} x$

Используем правило дифференцирования разности и производные тригонометрических функций: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

$y' = (\cos x - \operatorname{tg} x)' = (\cos x)' - (\operatorname{tg} x)'$

$y' = -\sin x - \frac{1}{\cos^2 x}$

Ответ: $-\sin x - \frac{1}{\cos^2 x}$.

3) $y = \sqrt{x}(5x - 1)$

Сначала преобразуем функцию, раскрыв скобки, представив $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:

$y = x^{1/2}(5x - 1) = 5x^{1} \cdot x^{1/2} - x^{1/2} = 5x^{3/2} - x^{1/2}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции:

$y' = (5x^{3/2} - x^{1/2})' = 5 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{15}{2}x^{1/2} - \frac{1}{2}x^{-1/2}$

Упростим выражение, приведя к общему знаменателю:

$y' = \frac{15\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{15\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}} = \frac{15x - 1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{15x - 1}{2\sqrt{x}}$.

4) $y = \frac{x+4}{\sqrt{x}}$

Сначала преобразуем функцию, разделив числитель на знаменатель:

$y = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{4}{\sqrt{x}} = x^{1-\frac{1}{2}} + 4x^{-1/2} = x^{1/2} + 4x^{-1/2}$

Теперь дифференцируем как сумму степенных функций:

$y' = (x^{1/2} + 4x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 4 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 2x^{-3/2}$

Упростим выражение:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x\sqrt{x}} = \frac{x}{2x\sqrt{x}} - \frac{4}{2x\sqrt{x}} = \frac{x - 4}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{x-4}{2x\sqrt{x}}$.

5) $y = \sqrt[3]{3x^3 + 2x}$

Это сложная функция. Представим ее в виде $y = u^{1/3}$, где $u = 3x^3 + 2x$.

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $y' = (u^{1/3})'_u \cdot u'_x$.

$(u^{1/3})'_u = \frac{1}{3}u^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{u^2}}$

$u'_x = (3x^3 + 2x)' = 9x^2 + 2$

Подставляем обратно:

$y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{(3x^3+2x)^2}} \cdot (9x^2 + 2) = \frac{9x^2+2}{3\sqrt[3]{(3x^3+2x)^2}}$

Ответ: $\frac{9x^2+2}{3\sqrt[3]{(3x^3+2x)^2}}$.

6) $y = x^3 \cos\frac{3}{x}$

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепное правило.

Пусть $u = x^3$ и $v = \cos\frac{3}{x}$.

$u' = (x^3)' = 3x^2$.

Для нахождения $v'$ используем цепное правило: $v' = (\cos\frac{3}{x})' = -\sin(\frac{3}{x}) \cdot (\frac{3}{x})' = -\sin(\frac{3}{x}) \cdot (-3x^{-2}) = \frac{3}{x^2}\sin(\frac{3}{x})$.

Теперь подставляем в формулу производной произведения:

$y' = (3x^2) \cdot \cos(\frac{3}{x}) + (x^3) \cdot (\frac{3}{x^2}\sin(\frac{3}{x}))$

$y' = 3x^2 \cos(\frac{3}{x}) + 3x \sin(\frac{3}{x})$

Можно вынести общий множитель $3x$ за скобки:

$y' = 3x(x \cos(\frac{3}{x}) + \sin(\frac{3}{x}))$

Ответ: $3x^2 \cos(\frac{3}{x}) + 3x \sin(\frac{3}{x})$.

2.

Для нахождения производной функции $f(x) = |x^2 - 6x|$ в точках $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$, сначала раскроем модуль.

Выражение под модулем $x^2 - 6x = x(x-6)$ равно нулю при $x=0$ и $x=6$. Оно неотрицательно при $x \in (-\infty, 0] \cup [6, \infty)$ и отрицательно при $x \in (0, 6)$.

Таким образом, функцию можно записать в виде:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x, & \text{если } x \in (-\infty, 0] \cup [6, \infty) \\ -(x^2 - 6x) = 6x - x^2, & \text{если } x \in (0, 6) \end{cases}$

Теперь найдем производную для каждого интервала, на которых она существует:

$f'(x) = \begin{cases} 2x - 6, & \text{если } x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty) \\ 6 - 2x, & \text{если } x \in (0, 6) \end{cases}$

Найдем значение производной в точке $x_1 = -1$. Эта точка принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$, поэтому используем формулу $f'(x) = 2x - 6$.

$f'(-1) = 2(-1) - 6 = -2 - 6 = -8$.

Найдем значение производной в точке $x_2 = 4$. Эта точка принадлежит интервалу $(0, 6)$, поэтому используем формулу $f'(x) = 6 - 2x$.

$f'(4) = 6 - 2(4) = 6 - 8 = -2$.

Ответ: в точке $x_1 = -1$ производная равна -8; в точке $x_2 = 4$ производная равна -2.

Самостоятельная работа № 41

Уравнение касательной

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x+2}{2-x^2}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 2x + 3$, которая параллельна прямой $y = 6x - 1$.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 4$, проходящей через точку $B (-1; -4)$.

1. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = \frac{x+2}{2-x^2}$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = \frac{1+2}{2-1^2} = \frac{3}{1} = 3$.
2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{x+2}{2-x^2}\right)' = \frac{(x+2)'(2-x^2) - (x+2)(2-x^2)'}{(2-x^2)^2} = \frac{1 \cdot (2-x^2) - (x+2)(-2x)}{(2-x^2)^2} = \frac{2-x^2 + 2x^2 + 4x}{(2-x^2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 2}{(2-x^2)^2}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$, которое является угловым коэффициентом касательной:
$f'(x_0) = f'(1) = \frac{1^2 + 4 \cdot 1 + 2}{(2-1^2)^2} = \frac{1+4+2}{(1)^2} = 7$.
4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=3$ и $f'(x_0)=7$ в уравнение касательной:
$y = 3 + 7(x-1)$
$y = 3 + 7x - 7$
$y = 7x - 4$.
Ответ: $y = 7x - 4$.

2. Условие параллельности прямой и касательной заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 6x - 1$ равен $k=6$. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.
Дана функция $f(x) = x^2 - 2x + 3$.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 2x + 3)' = 2x - 2$.
2. Приравняем производную к угловому коэффициенту данной прямой, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$f'(x_0) = 6$
$2x_0 - 2 = 6$
$2x_0 = 8$
$x_0 = 4$.
3. Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 4$ в исходную функцию:
$y_0 = f(x_0) = f(4) = 4^2 - 2 \cdot 4 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$.
Точка касания: $(4; 11)$.
4. Составим уравнение касательной, используя формулу $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:
$y = 11 + 6(x-4)$
$y = 11 + 6x - 24$
$y = 6x - 13$.
Ответ: $y = 6x - 13$.

3. Пусть $(x_0, y_0)$ - точка касания. Уравнение касательной в этой точке имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = x^2 - 4$ и точка $B(-1; -4)$, через которую проходит касательная.
1. Сначала проверим, лежит ли точка B на графике функции:
$f(-1) = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
Так как $f(-1) = -3 \ne -4$, точка B не является точкой касания.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 4)' = 2x$.
3. Запишем общее уравнение касательной в точке $x_0$:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = (x_0^2 - 4) + 2x_0(x - x_0)$.
4. Так как касательная проходит через точку $B(-1; -4)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x = -1$ и $y = -4$ в уравнение:
$-4 = (x_0^2 - 4) + 2x_0(-1 - x_0)$
$-4 = x_0^2 - 4 - 2x_0 - 2x_0^2$
$0 = -x_0^2 - 2x_0$
$x_0^2 + 2x_0 = 0$
$x_0(x_0 + 2) = 0$.
Отсюда получаем две возможные абсциссы точек касания: $x_{0_1} = 0$ и $x_{0_2} = -2$.
5. Найдем уравнения для каждой точки касания.
Случай 1: $x_0 = 0$.
$f(0) = 0^2 - 4 = -4$.
$f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$.
Уравнение касательной: $y = -4 + 0(x - 0) \Rightarrow y = -4$.
Случай 2: $x_0 = -2$.
$f(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
$f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.
Уравнение касательной: $y = 0 + (-4)(x - (-2)) \Rightarrow y = -4(x+2) \Rightarrow y = -4x - 8$.
Таким образом, существует две касательные к графику функции, проходящие через точку B.
Ответ: $y = -4$ и $y = -4x - 8$.