Страница 109 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Постройте график функции $y = \left(\left(x^2 - 1\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{-3}$.

Для построения графика функции $y = \left(\left(x^2 - 1\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{-3}$ проведем ее полное исследование.

1. Упрощение выражения и нахождение области определения

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим формулу функции:

$y = \left(\left(x^2 - 1\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{-3} = \left(x^2 - 1\right)^{\frac{1}{3} \cdot (-3)} = \left(x^2 - 1\right)^{-1} = \frac{1}{x^2 - 1}$.

Область определения функции (ОДЗ) находится из условия, что знаменатель дроби не равен нулю:

$x^2 - 1 \neq 0$

$(x - 1)(x + 1) \neq 0$

$x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Исследование на четность

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} = y(x)$.

Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Нахождение точек пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy:

Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = \frac{1}{0^2 - 1} = \frac{1}{-1} = -1$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -1)$.

Пересечение с осью Ox:

Для этого приравняем $y$ к нулю:

$\frac{1}{x^2 - 1} = 0$.

Это уравнение не имеет решений, так как числитель равен 1. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

4. Нахождение асимптот графика

Вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции, то есть при $x = -1$ и $x = 1$. Найдем пределы функции при приближении к этим точкам:

$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{+0} = +\infty$

$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{-0} = -\infty$

$\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{-0} = -\infty$

$\lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{+0} = +\infty$

Прямые $x=1$ и $x=-1$ являются вертикальными асимптотами.

Горизонтальная асимптота:

Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - 1} = 0$.

Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

5. Исследование на монотонность и экстремумы

Найдем первую производную функции:

$y' = \left(\frac{1}{x^2 - 1}\right)' = \left((x^2 - 1)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x^2 - 1)^{-2} \cdot (x^2 - 1)' = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$-\frac{2x}{(x^2 - 1)^2} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$.

Знаменатель $(x^2 - 1)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной зависит только от знака числителя $-2x$.

• При $x \in (-\infty; -1)$ и $x \in (-1; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 1)$ и $x \in (1; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y(0) = -1$.

Точка локального максимума: $(0; -1)$.

6. Исследование на выпуклость и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

$y'' = \left(-\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}\right)' = \frac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$.

Числитель $2(3x^2+1)$ всегда положителен. Знак второй производной зависит от знака знаменателя $(x^2-1)^3$.

• При $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, $x^2 - 1 > 0$, следовательно $y'' > 0$. График функции выпуклый вниз (вогнутый).
• При $x \in (-1; 1)$, $x^2 - 1 < 0$, следовательно $y'' < 0$. График функции выпуклый вверх (выпуклый).

Так как $y'' \neq 0$ ни в одной точке, точек перегиба у графика нет.

7. Построение графика

На основе проведенного исследования можно построить график. Он состоит из трех ветвей:

1. На интервале $(-\infty; -1)$: график расположен в верхней полуплоскости, приближается к асимптотам $y=0$ слева и $x=-1$ сверху. Функция возрастает и выпукла вниз.
2. На интервале $(-1; 1)$: график представляет собой "шапку", расположенную в нижней полуплоскости. Он проходит через точку локального максимума $(0; -1)$, которая также является точкой пересечения с осью Oy. Ветви графика уходят вниз к вертикальным асимптотам $x=-1$ и $x=1$. Функция возрастает на $(-1; 0)$ и убывает на $(0; 1)$, и на всем интервале выпукла вверх.
3. На интервале $(1; +\infty)$: график симметричен ветви на интервале $(-\infty; -1)$ относительно оси Oy. Он расположен в верхней полуплоскости, приближается к асимптотам $x=1$ сверху и $y=0$ справа. Функция убывает и выпукла вниз.

Для большей точности можно найти значения в нескольких точках: $y(2) = \frac{1}{2^2-1} = \frac{1}{3}$; $y(-2) = \frac{1}{3}$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ симметричен относительно оси Oy и состоит из трех ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x=-1$ и $x=1$. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой. На интервале $(-1, 1)$ график имеет локальный максимум в точке $(0, -1)$ и направлен ветвями вниз. На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$ ветви графика находятся в верхней полуплоскости и стремятся к асимптотам.

2. Упростите выражение:

1) $a^{\frac{17}{18}} : a^{-\frac{1}{12}}$;

2) $(a^3)^{-0,4} \cdot (a^{-5})^{-0,2} : (a^{-0,7})^6$;

3) $\left(a^{1\frac{4}{7}} b^{\frac{3}{14}}\right)^{2\frac{6}{11}}$ .

1) Для упрощения выражения $a^{\frac{17}{18}} : a^{-\frac{1}{12}}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

В данном случае показатель степени результата будет равен разности показателей делимого и делителя:

$\frac{17}{18} - (-\frac{1}{12}) = \frac{17}{18} + \frac{1}{12}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 18 и 12 это 36. Дополнительный множитель для первой дроби – 2, для второй – 3.

$\frac{17 \cdot 2}{18 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{34}{36} + \frac{3}{36} = \frac{34+3}{36} = \frac{37}{36}$

Следовательно, итоговое выражение имеет вид $a^{\frac{37}{36}}$.

Ответ: $a^{\frac{37}{36}}$

2) Для упрощения выражения $(a^3)^{-0,4} \cdot (a^{-5})^{-0,2} : (a^{-0,7})^6$ последовательно применим свойства степеней.

Сначала используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для каждого члена выражения:

$(a^3)^{-0,4} = a^{3 \cdot (-0,4)} = a^{-1,2}$

$(a^{-5})^{-0,2} = a^{-5 \cdot (-0,2)} = a^{1}$

$(a^{-0,7})^6 = a^{-0,7 \cdot 6} = a^{-4,2}$

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$a^{-1,2} \cdot a^1 : a^{-4,2}$

Далее, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении – вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$). Выполним эти действия по порядку:

$a^{-1,2 + 1 - (-4,2)} = a^{-0,2 + 4,2} = a^4$

Ответ: $a^4$

3) Упростим выражение $(a^{1\frac{4}{7}} b^{\frac{3}{14}})^{2\frac{6}{11}}$.

Первым шагом преобразуем смешанные числа в показателях степеней в неправильные дроби:

$1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$

$2\frac{6}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 6}{11} = \frac{28}{11}$

Выражение принимает следующий вид:

$(a^{\frac{11}{7}} b^{\frac{3}{14}})^{\frac{28}{11}}$

Теперь воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$:

$(a^{\frac{11}{7}})^{\frac{28}{11}} \cdot (b^{\frac{3}{14}})^{\frac{28}{11}}$

Далее, для каждого множителя применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

Для переменной $a$: $a^{\frac{11}{7} \cdot \frac{28}{11}} = a^{\frac{11 \cdot 28}{7 \cdot 11}} = a^{\frac{28}{7}} = a^4$

Для переменной $b$: $b^{\frac{3}{14} \cdot \frac{28}{11}} = b^{\frac{3 \cdot 28}{14 \cdot 11}} = b^{\frac{3 \cdot 2}{11}} = b^{\frac{6}{11}}$

Соединив результаты, получаем итоговое упрощенное выражение $a^4 b^{\frac{6}{11}}$.

Ответ: $a^4 b^{\frac{6}{11}}$

3. Сократите дробь:

1) $\frac{a - 9a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} - 9}$;

2) $\frac{a^{\frac{1}{3}} - 9b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}}$;

3) $\frac{4x^{\frac{1}{4}} - 4x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{3}}}{2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}}}$.

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{a - 9a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} - 9} $, вынесем в числителе общий множитель $ a^{\frac{5}{6}} $ за скобки. Учтем, что $ a = a^1 $, и при вынесении множителя за скобки показатели степеней вычитаются: $ a^1 : a^{\frac{5}{6}} = a^{1 - \frac{5}{6}} = a^{\frac{1}{6}} $.

Таким образом, выражение в числителе примет вид: $ a^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{6}} - 9) $.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь: $ \frac{a^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{6}} - 9)}{a^{\frac{1}{6}} - 9} $.

Сократим общий множитель $ (a^{\frac{1}{6}} - 9) $ в числителе и знаменателе.

Ответ: $ a^{\frac{5}{6}} $.

2) Рассмотрим дробь $ \frac{a^{\frac{1}{3}} - 9b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}} $. Для сокращения этой дроби разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $.

Представим числитель в виде разности квадратов, заметив, что $ a^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^2 $ и $ 9b^{\frac{1}{6}} = (3b^{\frac{1}{12}})^2 $.

Получаем: $ a^{\frac{1}{3}} - 9b^{\frac{1}{6}} = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (3b^{\frac{1}{12}})^2 = (a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}) $.

Теперь вся дробь имеет вид: $ \frac{(a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}})}{a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}} $.

Сокращаем общий множитель $ (a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}) $.

Ответ: $ a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}} $.

3) Проанализируем дробь $ \frac{4x^{\frac{1}{4}} - 4x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{3}}}{2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}}} $.

Числитель дроби представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $ A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2 $.

В данном случае $ A^2 = 4x^{\frac{1}{4}} $, откуда $ A = 2x^{\frac{1}{8}} $. Также $ B^2 = y^{\frac{1}{3}} $, откуда $ B = y^{\frac{1}{6}} $. Удвоенное произведение $ 2AB = 2(2x^{\frac{1}{8}})(y^{\frac{1}{6}}) = 4x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} $, что совпадает со средним членом числителя (с учетом знака).

Следовательно, числитель равен $ (2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}})^2 $.

Далее разложим на множители знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Общим множителем для членов $ 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} $ и $ -x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}} $ является $ x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} $.

Выносим его за скобки: $ 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}(2x^{\frac{1}{4}-\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}) = x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}(2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}) $.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь: $ \frac{(2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}})^2}{x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}(2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}})} $.

Сократим дробь на общий множитель $ (2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}) $.

Ответ: $ \frac{2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}} $.

4. Решите уравнение:

1) $(x - 1)\sqrt{x^2 - 5} = 2x - 2;$

2) $\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2;$

3) $\sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x} = 2.$

1) Исходное уравнение: $(x - 1)\sqrt{x^2 - 5} = 2x - 2$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. $x^2 - 5 \ge 0 \implies x^2 \ge 5 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$.

Преобразуем уравнение, вынеся 2 за скобки в правой части: $(x - 1)\sqrt{x^2 - 5} = 2(x - 1)$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(x - 1)$:

$(x - 1)\sqrt{x^2 - 5} - 2(x - 1) = 0$

$(x - 1)(\sqrt{x^2 - 5} - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, так как $1 \notin (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$, поэтому он является посторонним.

2. $\sqrt{x^2 - 5} - 2 = 0 \implies \sqrt{x^2 - 5} = 2$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $x^2 - 5 = 4 \implies x^2 = 9$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Оба корня, $x = 3$ и $x = -3$, удовлетворяют ОДЗ. Проверим их, подставив в исходное уравнение:

При $x=3$: $(3-1)\sqrt{3^2-5} = 2\sqrt{9-5} = 2\sqrt{4}=4$. Правая часть: $2(3)-2=4$. Равенство $4=4$ верно.

При $x=-3$: $(-3-1)\sqrt{(-3)^2-5} = -4\sqrt{9-5} = -4\sqrt{4}=-8$. Правая часть: $2(-3)-2=-8$. Равенство $-8=-8$ верно.

Ответ: $-3; 3$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2$.

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Уединим один из корней, перенеся $\sqrt{x - 2}$ в правую часть:

$\sqrt{x + 6} = 2 + \sqrt{x - 2}$

Так как обе части уравнения неотрицательны при $x \ge 2$, можно возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x + 6})^2 = (2 + \sqrt{x - 2})^2$

$x + 6 = 4 + 4\sqrt{x - 2} + (x - 2)$

$x + 6 = x + 2 + 4\sqrt{x - 2}$

Приведем подобные члены:

$6 - 2 = 4\sqrt{x - 2}$

$4 = 4\sqrt{x - 2}$

$1 = \sqrt{x - 2}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x - 2})^2$

$1 = x - 2 \implies x = 3$.

Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 2$). Проверка: $\sqrt{3+6}-\sqrt{3-2} = \sqrt{9}-\sqrt{1} = 3-1=2$. Равенство $2=2$ верно.

Ответ: $3$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x} = 2$.

ОДЗ для кубических корней - все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу суммы кубов $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$:

$(\sqrt[3]{1 - x})^3 + (\sqrt[3]{1 + x})^3 + 3\sqrt[3]{(1 - x)(1 + x)}(\sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x}) = 2^3$

$(1 - x) + (1 + x) + 3\sqrt[3]{1 - x^2}(\sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x}) = 8$

Заметим, что выражение в скобках $(\sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x})$ по условию исходного уравнения равно $2$. Подставим это значение:

$2 + 3\sqrt[3]{1 - x^2} \cdot 2 = 8$

$2 + 6\sqrt[3]{1 - x^2} = 8$

$6\sqrt[3]{1 - x^2} = 6$

$\sqrt[3]{1 - x^2} = 1$

Возведем обе части в куб еще раз:

$1 - x^2 = 1^3$

$1 - x^2 = 1$

$-x^2 = 0 \implies x = 0$.

Проверка: $\sqrt[3]{1-0} + \sqrt[3]{1+0} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} = 1+1=2$. Равенство $2=2$ верно.

Ответ: $0$.

5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3-2x} < x;$

2) $\sqrt{5x-6} > x.$

Решим неравенство $ \sqrt{3-2x} < x $.

Это иррациональное неравенство вида $ \sqrt{f(x)} < g(x) $. Оно равносильно системе неравенств, которая учитывает область определения корня и условие, при котором можно возводить обе части в квадрат:

$ \begin{cases} 3-2x \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x > 0 & \text{(правая часть больше левой, которая неотрицательна)} \\ 3-2x < x^2 & \text{(возводим обе неотрицательные части в квадрат)} \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. $ 3-2x \ge 0 $
$ -2x \ge -3 $
$ 2x \le 3 $
$ x \le 1.5 $

2. $ x > 0 $

3. $ 3-2x < x^2 $
$ 0 < x^2 + 2x - 3 $
$ x^2 + 2x - 3 > 0 $
Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 + 2x - 3 = 0 $. Используя теорему Виета, получаем корни $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -3 $. Графиком функции $ y = x^2 + 2x - 3 $ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $ x^2 + 2x - 3 > 0 $ выполняется при $ x \in (-\infty; -3) \cup (1; \infty) $.

Теперь необходимо найти пересечение решений всех трех неравенств:

$ \begin{cases} x \le 1.5 \\ x > 0 \\ x \in (-\infty; -3) \cup (1; \infty) \end{cases} $

Из первых двух неравенств следует, что $ x \in (0; 1.5] $. Найдем пересечение этого промежутка с решением третьего неравенства: $ (0; 1.5] \cap ((-\infty; -3) \cup (1; \infty)) $. Пересечением является интервал $ (1; 1.5] $.

Ответ: $ (1; 1.5] $

Решим неравенство $ \sqrt{5x-6} > x $.

Это иррациональное неравенство вида $ \sqrt{f(x)} > g(x) $. Его решение эквивалентно совокупности двух систем.

Первый случай: правая часть $ x $ отрицательна. Неравенство будет выполняться для всех $ x $ из области определения, так как квадратный корень всегда неотрицателен.

$ \begin{cases} 5x-6 \ge 0 & \text{(область определения корня)} \\ x < 0 \end{cases} $

Решаем эту систему:
$ \begin{cases} 5x \ge 6 \\ x < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1.2 \\ x < 0 \end{cases} $
Данная система не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно больше или равны 1.2 и меньше 0.

Второй случай: правая часть $ x $ неотрицательна. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат.

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ 5x-6 > x^2 \end{cases} $

(Условие $ 5x-6 \ge 0 $ здесь избыточно, так как из $ 5x-6 > x^2 $ и $ x^2 \ge 0 $ следует, что $ 5x-6 > 0 $).

Решим второе неравенство системы:
$ 5x-6 > x^2 $
$ 0 > x^2 - 5x + 6 $
$ x^2 - 5x + 6 < 0 $
Найдем корни уравнения $ x^2 - 5x + 6 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $. Графиком функции $ y = x^2 - 5x + 6 $ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $ y < 0 $ выполняется между корнями. Следовательно, решение неравенства: $ x \in (2; 3) $.

Теперь вернемся к системе для второго случая:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \in (2; 3) \end{cases} $

Пересечением этих условий является интервал $ (2; 3) $.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений двух случаев. Так как первый случай не дал решений, итоговый ответ совпадает с решением второго случая.

Ответ: $ (2; 3) $