Номер 3, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Сократите дробь:

1) $\frac{a - 9a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} - 9}$;

2) $\frac{a^{\frac{1}{3}} - 9b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}}$;

3) $\frac{4x^{\frac{1}{4}} - 4x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{3}}}{2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}}}$.

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{a - 9a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} - 9} $, вынесем в числителе общий множитель $ a^{\frac{5}{6}} $ за скобки. Учтем, что $ a = a^1 $, и при вынесении множителя за скобки показатели степеней вычитаются: $ a^1 : a^{\frac{5}{6}} = a^{1 - \frac{5}{6}} = a^{\frac{1}{6}} $.

Таким образом, выражение в числителе примет вид: $ a^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{6}} - 9) $.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь: $ \frac{a^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{6}} - 9)}{a^{\frac{1}{6}} - 9} $.

Сократим общий множитель $ (a^{\frac{1}{6}} - 9) $ в числителе и знаменателе.

Ответ: $ a^{\frac{5}{6}} $.

2) Рассмотрим дробь $ \frac{a^{\frac{1}{3}} - 9b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}} $. Для сокращения этой дроби разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $.

Представим числитель в виде разности квадратов, заметив, что $ a^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^2 $ и $ 9b^{\frac{1}{6}} = (3b^{\frac{1}{12}})^2 $.

Получаем: $ a^{\frac{1}{3}} - 9b^{\frac{1}{6}} = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (3b^{\frac{1}{12}})^2 = (a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}) $.

Теперь вся дробь имеет вид: $ \frac{(a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}})}{a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}} $.

Сокращаем общий множитель $ (a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}) $.

Ответ: $ a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}} $.

3) Проанализируем дробь $ \frac{4x^{\frac{1}{4}} - 4x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{3}}}{2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}}} $.

Числитель дроби представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $ A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2 $.

В данном случае $ A^2 = 4x^{\frac{1}{4}} $, откуда $ A = 2x^{\frac{1}{8}} $. Также $ B^2 = y^{\frac{1}{3}} $, откуда $ B = y^{\frac{1}{6}} $. Удвоенное произведение $ 2AB = 2(2x^{\frac{1}{8}})(y^{\frac{1}{6}}) = 4x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} $, что совпадает со средним членом числителя (с учетом знака).

Следовательно, числитель равен $ (2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}})^2 $.

Далее разложим на множители знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Общим множителем для членов $ 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} $ и $ -x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}} $ является $ x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} $.

Выносим его за скобки: $ 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}(2x^{\frac{1}{4}-\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}) = x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}(2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}) $.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь: $ \frac{(2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}})^2}{x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}(2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}})} $.

Сократим дробь на общий множитель $ (2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}) $.

Ответ: $ \frac{2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}} $.