Номер 3, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Упростите выражение:

1) $\sqrt[20]{a^5}$;

2) $\sqrt[4]{a^3}\sqrt[5]{a}$;

3) $\sqrt[8]{(a+9)^8}$, если $a \le -9$;

4) $\sqrt[32]{(a+9)^8}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[20]{a^5}$ воспользуемся свойством корня, которое можно выразить через дробные показатели: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt[20]{a^5} = a^{\frac{5}{20}}$
Теперь сократим дробный показатель степени:
$\frac{5}{20} = \frac{5}{5 \cdot 4} = \frac{1}{4}$
Таким образом, получаем:
$a^{\frac{1}{4}}$
Запишем результат обратно в виде корня:
$a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$
Область определения исходного выражения ($\sqrt[20]{a^5}$) требует, чтобы $a^5 \ge 0$, что означает $a \ge 0$. Область определения полученного выражения ($\sqrt[4]{a}$) также $a \ge 0$, поэтому преобразование корректно.
Ответ: $\sqrt[4]{a}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{a^3 \sqrt[5]{a}}$ начнем с преобразования внутреннего выражения.
Внесем множитель $a^3$ под знак корня пятой степени, для этого возведем его в 5-ю степень:
$a^3 \sqrt[5]{a} = \sqrt[5]{(a^3)^5 \cdot a}$
Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, упростим подкоренное выражение:
$\sqrt[5]{a^{15} \cdot a^1} = \sqrt[5]{a^{16}}$
Теперь подставим результат в исходное выражение:
$\sqrt[4]{\sqrt[5]{a^{16}}}$
Воспользуемся свойством для вложенных корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n \cdot m]{x}$:
$\sqrt[4 \cdot 5]{a^{16}} = \sqrt[20]{a^{16}}$
Можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, равный 4:
$\sqrt[20]{a^{16}} = \sqrt[20:4]{a^{16:4}} = \sqrt[5]{a^4}$
Ответ: $\sqrt[5]{a^4}$

3) Требуется упростить выражение $\sqrt[8]{(a+9)^8}$ при условии, что $a \le -9$.
Для корня четной степени ($n$) из выражения в той же степени существует тождество: $\sqrt[n]{x^n} = |x|$, когда $n$ — четное число.
В нашем случае $n=8$, что является четным числом, поэтому:
$\sqrt[8]{(a+9)^8} = |a+9|$
Теперь используем заданное условие $a \le -9$. Это условие позволяет определить знак выражения под модулем. Перенесем -9 в левую часть неравенства:
$a+9 \le 0$
Так как выражение $a+9$ является неположительным, по определению модуля $|x| = -x$ для $x \le 0$. Следовательно:
$|a+9| = -(a+9) = -a-9$
Ответ: $-a-9$

4) Упростим выражение $\sqrt[32]{(a+9)^8}$.
Используем свойство $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[32]{(a+9)^8} = (a+9)^{\frac{8}{32}}$
Сократим дробь в показателе степени:
$\frac{8}{32} = \frac{1}{4}$
Получаем $(a+9)^{\frac{1}{4}}$.
Однако, при упрощении корней четных степеней важно учитывать область определения. Исходное выражение $\sqrt[32]{(a+9)^8}$ определено для любого действительного числа $a$, так как подкоренное выражение $(a+9)^8$ всегда неотрицательно. Выражение $\sqrt[4]{a+9}$ определено только при $a+9 \ge 0$.
Чтобы преобразование было верным для всех $a$, необходимо использовать модуль. Общее правило: если $k$ — четное число, то $\sqrt[nk]{x^{mk}} = \sqrt[n]{|x^m|}$.
В нашем случае $\sqrt[32]{(a+9)^8} = \sqrt[4 \cdot 8]{(a+9)^{1 \cdot 8}}$. Здесь $n=4$, $m=1$, $k=8$ (четное).
Применяя правило, получаем:
$\sqrt[4]{|(a+9)^1|} = \sqrt[4]{|a+9|}$
Этот результат, как и исходное выражение, определен для всех действительных $a$.
Ответ: $\sqrt[4]{|a+9|}$