Номер 2, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = x^4 - 2x^2 + 3;$

2) $y = \frac{2x}{5 - x^2};$

3) $y = \frac{x + 2}{x^2 + 2x}.$

Дана функция $y = x^4 - 2x^2 + 3$. Обозначим ее как $f(x)$.

Для исследования функции на чётность необходимо выполнить два шага:
1. Проверить симметричность области определения $D(f)$ относительно начала координат.
2. Проверить выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ ( для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции).

Область определения данной функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Теперь найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3$.

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$.
Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

Дана функция $y = \frac{2x}{5 - x^2}$. Обозначим ее как $f(x)$.

Найдем область определения функции. Она определена для всех $x$, при которых знаменатель не равен нулю: $5 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 5 \Rightarrow x \neq \pm\sqrt{5}$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{2(-x)}{5 - (-x)^2} = \frac{-2x}{5 - x^2} = -\frac{2x}{5 - x^2}$.

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$.
Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

Дана функция $y = \frac{x + 2}{x^2 + 2x}$. Обозначим ее как $f(x)$.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 + 2x \neq 0 \Rightarrow x(x + 2) \neq 0$.
Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$.
Область определения функции: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для того чтобы функция была чётной или нечётной, ее область определения должна быть симметричной относительно начала координат (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$). Проверим это свойство. Возьмем, например, точку $x=2$. Она принадлежит области определения. Однако, симметричная ей точка $-x = -2$ не принадлежит области определения.

Поскольку область определения функции не является симметричной относительно начала координат, функция не может быть ни чётной, ни нечётной. Такие функции называют функциями общего вида.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.