Номер 5, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Решите неравенство:

1) $(x + 1)(x - 11)(x + 9) > 0;$

2) $(5 - x)(x - 8)(x - 6)^2 \leq 0;$

3) $\frac{x}{x + 3} + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^2 + 3x} \geq 0.$

1) $(x + 1)(x - 11)(x + 9) > 0$

Для решения данного неравенства применим метод интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$(x + 1)(x - 11)(x + 9) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 11$, $x_3 = -9$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое ($>0$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; -1)$, $(-1; 11)$ и $(11; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом из полученных интервалов. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(11; +\infty)$, например $x = 12$:

$(12 + 1)(12 - 11)(12 + 9) = 13 \cdot 1 \cdot 21 > 0$. Знак в этом интервале "+".

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться при переходе через корень.

Таким образом, знаки на интервалах будут следующими: $(-\infty; -9)$ — "−", $(-9; -1)$ — "+", $(-1; 11)$ — "−", $(11; +\infty)$ — "+".

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть те, где стоит знак "+".

Это интервалы $(-9; -1)$ и $(11; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-9; -1) \cup (11; +\infty)$.

2) $(5 - x)(x - 8)(x - 6)^2 \leq 0$

Преобразуем неравенство для удобства. Вынесем "-1" из первой скобки:

$-(x - 5)(x - 8)(x - 6)^2 \leq 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$(x - 5)(x - 8)(x - 6)^2 \geq 0$

Найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$(x - 5)(x - 8)(x - 6)^2 = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ (кратность 1), $x_2 = 8$ (кратность 1), $x_3 = 6$ (кратность 2, четная).

Отметим эти точки на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое ($\geq 0$), точки будут закрашенными. Определим знаки в интервалах.

В крайнем правом интервале $(8; +\infty)$ (например, при $x=10$) выражение $(10 - 5)(10 - 8)(10 - 6)^2$ положительно.

При переходе через корень $x=8$ (нечетная кратность) знак меняется на "−".

При переходе через корень $x=6$ (четная кратность) знак не меняется и остается "−".

При переходе через корень $x=5$ (нечетная кратность) знак меняется на "+".

Знаки на интервалах: $(-\infty; 5]$ — "+"; $[5; 6]$ — "−"; $[6; 8]$ — "−"; $[8; +\infty)$ — "+".

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+" и сами корни, в которых выражение равно нулю.

Решением являются промежутки $(-\infty; 5]$ и $[8; +\infty)$. Также точка $x=6$ является решением, так как в ней выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $\geq 0$.

Объединяя все решения, получаем:

Ответ: $x \in (-\infty; 5] \cup \{6\} \cup [8; +\infty)$.

3) $\frac{x}{x+3} + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^2+3x} \geq 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

$x \neq 0$

$x^2+3x = x(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq -3$.

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{x \cdot x}{x(x+3)} + \frac{5 \cdot (x+3)}{x(x+3)} - \frac{9}{x(x+3)} \geq 0$

$\frac{x^2 + 5(x+3) - 9}{x(x+3)} \geq 0$

$\frac{x^2 + 5x + 15 - 9}{x(x+3)} \geq 0$

$\frac{x^2 + 5x + 6}{x(x+3)} \geq 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Таким образом, $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$. Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+2)(x+3)}{x(x+3)} \geq 0$

С учетом ОДЗ ($x \neq -3$), мы можем сократить дробь на $(x+3)$. Получим неравенство $\frac{x+2}{x} \geq 0$, которое нужно решить при условии $x \neq -3$.

Решим неравенство $\frac{x+2}{x} \geq 0$ методом интервалов. Нуль числителя: $x = -2$ (точка закрашенная). Нуль знаменателя: $x = 0$ (точка выколотая).

Определим знаки в интервалах $(-\infty; -2]$, $[-2; 0)$ и $(0; +\infty)$.

• Интервал $(0; +\infty)$: знак "+".
• Интервал $(-2; 0)$: знак "−".
• Интервал $(-\infty; -2)$: знак "+".

Решением неравенства $\frac{x+2}{x} \geq 0$ являются промежутки $(-\infty; -2] \cup (0; +\infty)$.

Теперь учтем ОДЗ, а именно условие $x \neq -3$. Точка $x=-3$ попадает в промежуток $(-\infty; -2]$, поэтому ее необходимо исключить из решения.

Итоговое решение:

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -2] \cup (0; +\infty)$.