Номер 5, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Внесите множитель под знак корня:

1) $(a+6)\sqrt[10]{a+5};$

2) $(4-n)\sqrt[14]{n-2}.$

1) $(a+6)\sqrt[10]{a+5}$

Для того чтобы внести множитель под знак корня, необходимо возвести его в степень, равную показателю корня. Показатель корня в данном случае равен 10, это четное число. При внесении множителя под корень четной степени необходимо учитывать знак этого множителя.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения. Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным:

$a+5 \ge 0$, откуда $a \ge -5$.

Теперь определим знак множителя $(a+6)$ на области допустимых значений. Если $a \ge -5$, то $a+6 \ge -5+6$, то есть $a+6 \ge 1$. Следовательно, множитель $(a+6)$ всегда положителен в ОДЗ.

Поскольку множитель $(a+6)$ положителен, мы можем внести его под знак корня, возведя в 10-ю степень, без изменения знака перед корнем:

$(a+6)\sqrt[10]{a+5} = \sqrt[10]{(a+6)^{10}(a+5)}$

Ответ: $\sqrt[10]{(a+6)^{10}(a+5)}$

2) $(4-n)\sqrt[14]{n-2}$

Показатель корня равен 14, это четное число. Найдем ОДЗ для выражения:

$n-2 \ge 0$, откуда $n \ge 2$.

Знак множителя $(4-n)$ зависит от значения $n$ в области допустимых значений. Необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Множитель $(4-n)$ неотрицателен.

$4-n \ge 0 \implies n \le 4$.

С учетом ОДЗ ($n \ge 2$), этот случай соответствует промежутку $2 \le n \le 4$.

На этом промежутке, так как множитель неотрицателен, вносим его под корень, возведя в 14-ю степень:

$(4-n)\sqrt[14]{n-2} = \sqrt[14]{(4-n)^{14}(n-2)}$

Случай 2: Множитель $(4-n)$ отрицателен.

$4-n < 0 \implies n > 4$.

Этот случай соответствует промежутку $n > 4$ (что входит в ОДЗ $n \ge 2$).

Если множитель отрицателен, то при внесении его под корень четной степени перед корнем ставится знак «минус», а под корень вносится модуль этого множителя (или, что то же самое, множитель с противоположным знаком), возведенный в степень корня. Общее правило: $b \sqrt[k]{A} = -\sqrt[k]{(-b)^k A}$, если $b<0$ и $k$ - четное.

В нашем случае $b = 4-n$, тогда $-b = -(4-n) = n-4$.

$(4-n)\sqrt[14]{n-2} = -\sqrt[14]{(-(4-n))^{14}(n-2)} = -\sqrt[14]{(n-4)^{14}(n-2)}$

Объединяя оба случая, получаем итоговый ответ.

Ответ: $\sqrt[14]{(4-n)^{14}(n-2)}$ при $2 \le n \le 4$; $-\sqrt[14]{(n-4)^{14}(n-2)}$ при $n > 4$.