Номер 7, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

7. Определите количество корней уравнения $(x - a)($ $\sqrt[6]{x} - 2) = 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Исходное уравнение $(x - a)(\sqrt[6]{x} - 2) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений при условии выполнения области допустимых значений (ОДЗ).

Определение ОДЗ

В уравнении присутствует корень четной степени $\sqrt[6]{x}$. По определению корня четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Это и есть ОДЗ для данного уравнения. Все корни уравнения должны удовлетворять этому условию.

Решение уравнения

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует. Это приводит к совокупности уравнений, решения которой должны принадлежать ОДЗ: $ \left[ \begin{array}{l} x - a = 0 \\ \sqrt[6]{x} - 2 = 0 \end{array} \right. $

Рассмотрим каждое уравнение из совокупности:

Из уравнения $\sqrt[6]{x} - 2 = 0$ следует, что $\sqrt[6]{x} = 2$. Возведя обе части в шестую степень, получаем корень: $x_1 = 2^6 = 64$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $64 \ge 0$. Следовательно, $x = 64$ является корнем исходного уравнения при любом значении параметра $a$.

Из уравнения $x - a = 0$ следует, что $x_2 = a$. Этот корень должен удовлетворять ОДЗ, то есть должно выполняться условие $a \ge 0$. Если $a < 0$, то $x=a$ не является корнем исходного уравнения.

Анализ количества корней

Теперь определим, сколько различных корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра $a$. У нас есть один безусловный корень $x_1 = 64$ и второй возможный корень $x_2 = a$.

1. Если $a < 0$

В этом случае $x_2 = a$ не удовлетворяет ОДЗ ($a < 0$). Поэтому уравнение имеет только один корень: $x_1 = 64$.

2. Если $a \ge 0$

В этом случае $x_2 = a$ удовлетворяет ОДЗ, и у нас есть два корня: $x_1 = 64$ и $x_2 = a$. Количество различных корней зависит от того, совпадают ли эти значения.

- Если $a = 64$, то $x_1 = x_2 = 64$. В этом случае корни совпадают, и уравнение имеет ровно один корень.

- Если $a \ge 0$ и $a \neq 64$ (то есть $a \in [0, 64) \cup (64, +\infty)$), то корни $x_1=64$ и $x_2=a$ различны. В этом случае уравнение имеет два различных корня.

Итог

Объединим полученные результаты:

• Уравнение имеет один корень, если $a < 0$ (корень $x=64$) или если $a=64$ (корень $x=64$).
• Уравнение имеет два корня, если $a \ge 0$ и $a \neq 64$ (корни $x=64$ и $x=a$).

Ответ: если $a < 0$ или $a=64$, то уравнение имеет один корень; если $a \in [0, 64) \cup (64, +\infty)$, то уравнение имеет два корня.