Номер 2, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Определите знак выражения:

1) $ \sin 181^{\circ} \cos (-302^{\circ}) \operatorname{tg} 260^{\circ}; $

2) $ \cos \left(-\frac{5\pi}{9}\right) \operatorname{tg} \frac{7\pi}{5}. $

1) $ \sin 181^\circ \cos (-302^\circ) \tg 260^\circ $

Чтобы определить знак всего выражения, необходимо определить знак каждого из множителей. Знак тригонометрической функции зависит от того, в какой координатной четверти находится ее аргумент (угол).

• Определим знак $ \sin 181^\circ $.
  Угол $ 181^\circ $ находится в третьей четверти, так как $ 180^\circ < 181^\circ < 270^\circ $. В третьей четверти синус имеет знак минус (-). Итак, $ \sin 181^\circ < 0 $.

• Определим знак $ \cos (-302^\circ) $.
  Функция косинуса является четной, поэтому $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $. Следовательно, $ \cos(-302^\circ) = \cos(302^\circ) $. Угол $ 302^\circ $ находится в четвертой четверти, так как $ 270^\circ < 302^\circ < 360^\circ $. В четвертой четверти косинус имеет знак плюс (+). Итак, $ \cos(-302^\circ) > 0 $.

• Определим знак $ \tg 260^\circ $.
  Угол $ 260^\circ $ находится в третьей четверти, так как $ 180^\circ < 260^\circ < 270^\circ $. В третьей четверти тангенс имеет знак плюс (+). Итак, $ \tg 260^\circ > 0 $.

Теперь найдем знак исходного выражения, перемножив знаки множителей:
$ (-) \cdot (+) \cdot (+) = (-) $.

Следовательно, все выражение имеет знак минус.

Ответ: минус.

2) $ \cos(-\frac{5\pi}{9}) \tg \frac{7\pi}{5} $

Аналогично предыдущему пункту, определим знак каждого множителя.

• Определим знак $ \cos(-\frac{5\pi}{9}) $.
  Так как косинус — четная функция, $ \cos(-\frac{5\pi}{9}) = \cos(\frac{5\pi}{9}) $.
  Определим, в какой четверти находится угол $ \frac{5\pi}{9} $. Сравним его с границами четвертей: $ \frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9} $ и $ \pi = \frac{9\pi}{9} $.
  Поскольку $ \frac{4.5\pi}{9} < \frac{5\pi}{9} < \frac{9\pi}{9} $, угол находится во второй четверти. Косинус во второй четверти имеет знак минус (-). Итак, $ \cos(-\frac{5\pi}{9}) < 0 $.

• Определим знак $ \tg \frac{7\pi}{5} $.
  Определим, в какой четверти находится угол $ \frac{7\pi}{5} $. Сравним его с границами четвертей: $ \pi = \frac{5\pi}{5} $ и $ \frac{3\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{5} $.
  Поскольку $ \frac{5\pi}{5} < \frac{7\pi}{5} < \frac{7.5\pi}{5} $, угол находится в третьей четверти. Тангенс в третьей четверти имеет знак плюс (+). Итак, $ \tg \frac{7\pi}{5} > 0 $.

Теперь найдем знак произведения:
$ (-) \cdot (+) = (-) $.

Следовательно, все выражение имеет знак минус.

Ответ: минус.