Страница 110 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тригонометрические функции и их свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $ \cos \frac{25\pi}{3} $;

2) $ \operatorname{ctg} (-780^{\circ}) $.

1)

Чтобы найти значение выражения $cos{\frac{25\pi}{3}}$, воспользуемся свойством периодичности функции косинус. Период косинуса равен $2\pi$, поэтому $cos(x + 2\pi n) = cos(x)$ для любого целого $n$.

Представим угол $\frac{25\pi}{3}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $2\pi$:

$\frac{25\pi}{3} = \frac{24\pi + \pi}{3} = \frac{24\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3} = 4 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{3}$

Теперь, используя свойство периодичности, мы можем отбросить целое число полных оборотов ($4 \cdot 2\pi$):

$cos{\frac{25\pi}{3}} = cos(8\pi + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3})$

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным:

$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2)

Чтобы найти значение выражения $ctg(-780^{\circ})$, воспользуемся свойствами нечетности и периодичности функции котангенс.

Во-первых, котангенс — нечетная функция, то есть $ctg(-x) = -ctg(x)$. Применим это свойство:

$ctg(-780^{\circ}) = -ctg(780^{\circ})$

Во-вторых, функция котангенс периодична с периодом $180^{\circ}$ (а значит, и $360^{\circ}$). Это означает, что $ctg(x + 180^{\circ} \cdot n) = ctg(x)$ для любого целого $n$. Мы можем вычесть из угла $780^{\circ}$ количество градусов, кратное $360^{\circ}$, чтобы получить угол в пределах от $0^{\circ}$ до $360^{\circ}$.

$780^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + 60^{\circ} = 720^{\circ} + 60^{\circ}$

Подставим это в наше выражение:

$-ctg(780^{\circ}) = -ctg(720^{\circ} + 60^{\circ}) = -ctg(60^{\circ})$

Значение котангенса для угла $60^{\circ}$ является табличным:

$ctg(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Следовательно:

$-ctg(60^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. Определите знак выражения:

1) $ \sin 181^{\circ} \cos (-302^{\circ}) \operatorname{tg} 260^{\circ}; $

2) $ \cos \left(-\frac{5\pi}{9}\right) \operatorname{tg} \frac{7\pi}{5}. $

1) $ \sin 181^\circ \cos (-302^\circ) \tg 260^\circ $

Чтобы определить знак всего выражения, необходимо определить знак каждого из множителей. Знак тригонометрической функции зависит от того, в какой координатной четверти находится ее аргумент (угол).

• Определим знак $ \sin 181^\circ $.
  Угол $ 181^\circ $ находится в третьей четверти, так как $ 180^\circ < 181^\circ < 270^\circ $. В третьей четверти синус имеет знак минус (-). Итак, $ \sin 181^\circ < 0 $.

• Определим знак $ \cos (-302^\circ) $.
  Функция косинуса является четной, поэтому $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $. Следовательно, $ \cos(-302^\circ) = \cos(302^\circ) $. Угол $ 302^\circ $ находится в четвертой четверти, так как $ 270^\circ < 302^\circ < 360^\circ $. В четвертой четверти косинус имеет знак плюс (+). Итак, $ \cos(-302^\circ) > 0 $.

• Определим знак $ \tg 260^\circ $.
  Угол $ 260^\circ $ находится в третьей четверти, так как $ 180^\circ < 260^\circ < 270^\circ $. В третьей четверти тангенс имеет знак плюс (+). Итак, $ \tg 260^\circ > 0 $.

Теперь найдем знак исходного выражения, перемножив знаки множителей:
$ (-) \cdot (+) \cdot (+) = (-) $.

Следовательно, все выражение имеет знак минус.

Ответ: минус.

2) $ \cos(-\frac{5\pi}{9}) \tg \frac{7\pi}{5} $

Аналогично предыдущему пункту, определим знак каждого множителя.

• Определим знак $ \cos(-\frac{5\pi}{9}) $.
  Так как косинус — четная функция, $ \cos(-\frac{5\pi}{9}) = \cos(\frac{5\pi}{9}) $.
  Определим, в какой четверти находится угол $ \frac{5\pi}{9} $. Сравним его с границами четвертей: $ \frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9} $ и $ \pi = \frac{9\pi}{9} $.
  Поскольку $ \frac{4.5\pi}{9} < \frac{5\pi}{9} < \frac{9\pi}{9} $, угол находится во второй четверти. Косинус во второй четверти имеет знак минус (-). Итак, $ \cos(-\frac{5\pi}{9}) < 0 $.

• Определим знак $ \tg \frac{7\pi}{5} $.
  Определим, в какой четверти находится угол $ \frac{7\pi}{5} $. Сравним его с границами четвертей: $ \pi = \frac{5\pi}{5} $ и $ \frac{3\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{5} $.
  Поскольку $ \frac{5\pi}{5} < \frac{7\pi}{5} < \frac{7.5\pi}{5} $, угол находится в третьей четверти. Тангенс в третьей четверти имеет знак плюс (+). Итак, $ \tg \frac{7\pi}{5} > 0 $.

Теперь найдем знак произведения:
$ (-) \cdot (+) = (-) $.

Следовательно, все выражение имеет знак минус.

Ответ: минус.

3. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = x^4 + 4\sin^2 x \cos 2x;$

2) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x}{\cos x}.$

1) $f(x) = x^4 + 4\sin^2 x \cos 2x$

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия: симметричность области определения и выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ (для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции).

Область определения $D(f)$ данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как все её компоненты ($x^4$, $\sin^2 x$, $\cos 2x$) определены на всей числовой оси. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = (-x)^4 + 4\sin^2(-x) \cos(2(-x))$.

Используем свойства чётности и нечётности функций: степенная функция с чётным показателем является чётной, поэтому $(-x)^4 = x^4$; синус — нечётная функция, $\sin(-x) = -\sin x$, следовательно $\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$; косинус — чётная функция, $\cos(-2x) = \cos(2x)$.

Подставим преобразованные выражения обратно:
$f(-x) = x^4 + 4\sin^2 x \cos 2x$.

Сравнивая результат с исходной функцией, получаем $f(-x) = f(x)$.

Так как область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$, то функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = \frac{\tg x - \ctg x}{\cos x}$

Сначала определим область определения функции $D(f)$. Функция определена, когда знаменатель не равен нулю и все тригонометрические функции в ней существуют. Это требует выполнения условий: $\cos x \neq 0$ (из-за $\tg x$ и знаменателя) и $\sin x \neq 0$ (из-за $\ctg x$). Эти условия можно объединить: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Данная область определения симметрична относительно нуля (если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит).

Теперь найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{\tg(-x) - \ctg(-x)}{\cos(-x)}$.

Воспользуемся свойствами чётности и нечётности тригонометрических функций: тангенс и котангенс — нечётные функции ($\tg(-x) = -\tg x$, $\ctg(-x) = -\ctg x$), а косинус — чётная функция ($\cos(-x) = \cos x$).

Подставим эти свойства в выражение для $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{-\tg x - (-\ctg x)}{\cos x} = \frac{-\tg x + \ctg x}{\cos x} = \frac{-(\tg x - \ctg x)}{\cos x}$.

Таким образом, мы получили, что $f(-x) = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

4. Найдите период функции $f(x) = \cos5x + \operatorname{tg}\frac{3x}{4}$.

4.

Чтобы найти период функции $f(x) = \cos(5x) + \text{tg}\frac{3x}{4}$, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) периодов функций-слагаемых.

Функция $f(x)$ является суммой двух периодических функций: $g(x) = \cos(5x)$ и $h(x) = \text{tg}\frac{3x}{4}$.

1. Сначала найдем период функции $g(x) = \cos(5x)$.
Основной период функции $\cos(t)$ равен $2\pi$. Для функции вида $\cos(kx)$ период $T_1$ вычисляется по формуле $T_1 = \frac{2\pi}{|k|}$.
В данном случае коэффициент $k=5$, следовательно, период $g(x)$ равен:
$T_1 = \frac{2\pi}{5}$.

2. Теперь найдем период функции $h(x) = \text{tg}\frac{3x}{4}$.
Основной период функции $\text{tg}(t)$ равен $\pi$. Для функции вида $\text{tg}(kx)$ период $T_2$ вычисляется по формуле $T_2 = \frac{\pi}{|k|}$.
В данном случае коэффициент $k=\frac{3}{4}$, следовательно, период $h(x)$ равен:
$T_2 = \frac{\pi}{\frac{3}{4}} = \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

3. Период $T$ функции $f(x)$ равен наименьшему общему кратному периодов $T_1$ и $T_2$.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}\left(\frac{2\pi}{5}, \frac{4\pi}{3}\right)$.
Чтобы найти НОК для двух дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, можно использовать формулу: $\text{НОК}\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right) = \frac{\text{НОК}(a, c)}{\text{НОД}(b, d)}$, где НОД — это наибольший общий делитель.
Применим эту формулу к нашим периодам, представив их как $\pi \cdot \frac{2}{5}$ и $\pi \cdot \frac{4}{3}$:
$T = \pi \cdot \text{НОК}\left(\frac{2}{5}, \frac{4}{3}\right) = \pi \cdot \frac{\text{НОК}(2, 4)}{\text{НОД}(5, 3)}$.
Найдем НОК числителей и НОД знаменателей:
$\text{НОК}(2, 4) = 4$.
$\text{НОД}(5, 3) = 1$ (так как 5 и 3 — взаимно простые числа).
Подставим найденные значения в формулу:
$T = \pi \cdot \frac{4}{1} = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$.

5. Сравните значения выражений:

1) $sin \frac{16\pi}{15}$ и $sin \frac{17\pi}{16}$;

2) $ctg\left(-\frac{4\pi}{7}\right)$ и $ctg\left(-\frac{5\pi}{9}\right)$.

1) Сравнить $sin\frac{16\pi}{15}$ и $sin\frac{17\pi}{16}$.

Для начала определим, в каких координатных четвертях находятся углы. Представим аргументы в виде $\pi + \alpha$:
$\frac{16\pi}{15} = \frac{15\pi + \pi}{15} = \pi + \frac{\pi}{15}$
$\frac{17\pi}{16} = \frac{16\pi + \pi}{16} = \pi + \frac{\pi}{16}$

Оба угла больше $\pi$, но меньше $\frac{3\pi}{2}$, следовательно, они находятся в третьей координатной четверти. В третьей четверти функция $y = sin(x)$ является отрицательной и убывающей. Это значит, что большему значению угла соответствует меньшее значение синуса.

Теперь сравним сами углы. Нам нужно сравнить $\frac{16\pi}{15}$ и $\frac{17\pi}{16}$. Для этого сравним дроби $\frac{16}{15}$ и $\frac{17}{16}$: $\frac{16}{15} = 1 + \frac{1}{15}$, а $\frac{17}{16} = 1 + \frac{1}{16}$. Поскольку $15 < 16$, то $\frac{1}{15} > \frac{1}{16}$. Следовательно, $1 + \frac{1}{15} > 1 + \frac{1}{16}$, что означает $\frac{16\pi}{15} > \frac{17\pi}{16}$.

Так как на рассматриваемом промежутке функция синуса убывает, то из того, что $\frac{16\pi}{15} > \frac{17\pi}{16}$, следует, что $sin(\frac{16\pi}{15}) < sin(\frac{17\pi}{16})$.

Ответ: $sin\frac{16\pi}{15} < sin\frac{17\pi}{16}$.

2) Сравнить $ctg(-\frac{4\pi}{7})$ и $ctg(-\frac{5\pi}{9})$.

Функция котангенс является нечетной, то есть $ctg(-x) = -ctg(x)$. Применим это свойство к нашим выражениям:
$ctg(-\frac{4\pi}{7}) = -ctg(\frac{4\pi}{7})$
$ctg(-\frac{5\pi}{9}) = -ctg(\frac{5\pi}{9})$

Теперь задача сводится к сравнению значений $-ctg(\frac{4\pi}{7})$ и $-ctg(\frac{5\pi}{9})$. Для этого сначала сравним $ctg(\frac{4\pi}{7})$ и $ctg(\frac{5\pi}{9})$.

Определим, в каких четвертях находятся углы $\frac{4\pi}{7}$ и $\frac{5\pi}{9}$. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{7} < \pi$ (потому что $0.5 < 4/7 \approx 0.57 < 1$) и $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \pi$ (потому что $0.5 < 5/9 \approx 0.56 < 1$), оба угла находятся во второй координатной четверти.

Функция $y = ctg(x)$ является убывающей на всей своей области определения, в том числе и на интервале $(0, \pi)$, куда входят оба угла. Это означает, что большему значению угла соответствует меньшее значение котангенса.

Сравним углы $\frac{4\pi}{7}$ и $\frac{5\pi}{9}$. Для этого приведем дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{5}{9}$ к общему знаменателю $63$:
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{36}{63}$
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{35}{63}$

Поскольку $\frac{36}{63} > \frac{35}{63}$, то $\frac{4\pi}{7} > \frac{5\pi}{9}$. Так как функция котангенса на этом промежутке убывает, то из $\frac{4\pi}{7} > \frac{5\pi}{9}$ следует, что $ctg(\frac{4\pi}{7}) < ctg(\frac{5\pi}{9})$.

Теперь вернемся к исходным выражениям. Умножим обе части неравенства $ctg(\frac{4\pi}{7}) < ctg(\frac{5\pi}{9})$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-ctg(\frac{4\pi}{7}) > -ctg(\frac{5\pi}{9})$. Следовательно, $ctg(-\frac{4\pi}{7}) > ctg(-\frac{5\pi}{9})$.

Ответ: $ctg(-\frac{4\pi}{7}) > ctg(-\frac{5\pi}{9})$.

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $\text{tg}^2 x \cos^2 x - 3$.

Рассмотрим выражение $y = \text{tg}^2 x \cos^2 x - 3$.

Для нахождения его наибольшего и наименьшего значений, сначала упростим его. Используя тригонометрическое тождество $\text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:
$y = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 \cdot \cos^2 x - 3 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \cos^2 x - 3$.

Исходное выражение содержит $\text{tg} x$, который определен только при $\cos x \neq 0$. Это условие является областью допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения. При выполнении этого условия мы можем сократить $\cos^2 x$:
$y = \sin^2 x - 3$.

Теперь найдем множество значений функции $y = \sin^2 x - 3$ с учетом ОДЗ.
Для любого действительного числа $x$ справедливо неравенство $0 \le \sin^2 x \le 1$.
Однако, из ОДЗ мы знаем, что $\cos x \neq 0$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что если $\cos x \neq 0$, то $\sin^2 x \neq 1$.
Таким образом, для нашего выражения множество значений для $\sin^2 x$ — это полуинтервал $[0, 1)$.

Наименьшее значение
Наименьшее значение выражения достигается при наименьшем возможном значении $\sin^2 x$.
Наименьшее значение $\sin^2 x$ равно 0. Оно достигается, например, при $x = 0$. При этом $\cos 0 = 1 \neq 0$, что удовлетворяет ОДЗ.
Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно:
$y_{наим} = 0 - 3 = -3$.

Наибольшее значение
Наибольшее значение выражения соответствовало бы наибольшему значению $\sin^2 x$.
Мы установили, что $\sin^2 x < 1$. Это означает, что $\sin^2 x$ может принимать значения, сколь угодно близкие к 1, но никогда не равные 1.
Следовательно, значение выражения $y = \sin^2 x - 3$ будет стремиться к $1 - 3 = -2$, но никогда его не достигнет, то есть $y < -2$.
Таким образом, у данного выражения не существует наибольшего значения (максимума).

Ответ: Наименьшее значение выражения равно -3, а наибольшего значения не существует.

7. Постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{1}{2} |\sin 3x|;$

2) $y = \sqrt{\sin 2x - 1} - 1.$

1) $f(x) = \frac{1}{2}\left|\sin3x\right|$

Построение графика этой функции можно выполнить в несколько этапов, преобразуя график базовой функции $y = \sin x$.

1. Строим график функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Преобразуем его в график функции $y_2 = \sin(3x)$. Коэффициент 3 при аргументе $x$ означает сжатие графика по горизонтали (вдоль оси Ox) в 3 раза. Период функции уменьшится в 3 раза и станет равен $T_2 = \frac{2\pi}{3}$. Амплитуда останется равной 1.

3. Далее строим график функции $y_3 = |\sin(3x)|$. Модуль означает, что все части графика $y_2$, которые находятся ниже оси Ox (где значения функции отрицательны), симметрично отражаются относительно оси Ox вверх. В результате весь график будет находиться в верхней полуплоскости. Период функции уменьшится вдвое по сравнению с $y_2$ и станет равен $T_3 = \frac{T_2}{2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3}$. Максимальное значение по-прежнему 1, а минимальное теперь 0.

4. Последний шаг — построение искомого графика $f(x) = \frac{1}{2}|\sin(3x)|$. Коэффициент $\frac{1}{2}$ перед модулем означает сжатие графика $y_3$ по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза. Это значит, что все значения $y$ нужно умножить на $\frac{1}{2}$.

Итоговые свойства графика функции $f(x) = \frac{1}{2}|\sin3x|$:

• Функция периодическая с основным периодом $T = \frac{\pi}{3}$.

• Область значений (множество значений) функции: $E(f) = [0; \frac{1}{2}]$. Максимальное значение равно $\frac{1}{2}$, минимальное — 0.

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся в точках, где $\sin(3x) = 0$, то есть $3x = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• Максимумы функции достигаются в точках, где $|\sin(3x)| = 1$, то есть $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

График представляет собой последовательность одинаковых "арок", расположенных на оси Ox, с высотой $\frac{1}{2}$ и периодом $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: График функции $f(x) = \frac{1}{2}|\sin3x|$ получается из графика синуса путем сжатия по оси Ox в 3 раза, отражения отрицательной части относительно оси Ox и последующего сжатия по оси Oy в 2 раза. Это периодическая функция с периодом $\frac{\pi}{3}$ и областью значений $[0; \frac{1}{2}]$.

2) $y = \sqrt{\sin2x - 1} - 1$

Для построения графика этой функции сначала найдем ее область определения (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$\sin(2x) - 1 \ge 0$

Перенеся единицу в правую часть, получаем неравенство:

$\sin(2x) \ge 1$

Мы знаем, что область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что значение $\sin(2x)$ не может быть больше 1. Следовательно, единственная возможность, при которой неравенство выполняется, — это когда $\sin(2x)$ равен своему максимальному значению, то есть 1.

$\sin(2x) = 1$

Решим это тригонометрическое уравнение:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z - множество целых чисел).

Разделив обе части на 2, найдем $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения функции — это не сплошной промежуток, а дискретное множество точек на числовой прямой.

Теперь найдем значение функции $y$ в этих точках. Подставим значение $\sin(2x) = 1$ в исходную формулу:

$y = \sqrt{1 - 1} - 1 = \sqrt{0} - 1 = 0 - 1 = -1$.

Это означает, что для любого допустимого значения $x$ из области определения, значение функции $y$ всегда будет равно -1.

Следовательно, график данной функции состоит из множества изолированных точек, лежащих на прямой $y=-1$. Координаты этих точек:

$(\frac{\pi}{4} + \pi k, -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Например, при $k=0$ точка имеет координаты $(\frac{\pi}{4}, -1)$, при $k=1$ — $(\frac{5\pi}{4}, -1)$, при $k=-1$ — $(-\frac{3\pi}{4}, -1)$ и так далее.

Ответ: График функции представляет собой бесконечное множество изолированных точек с координатами $(\frac{\pi}{4} + \pi k, -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Все эти точки лежат на горизонтальной прямой $y=-1$.