Номер 3, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = x^4 + 4\sin^2 x \cos 2x;$

2) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x}{\cos x}.$

1) $f(x) = x^4 + 4\sin^2 x \cos 2x$

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия: симметричность области определения и выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ (для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции).

Область определения $D(f)$ данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как все её компоненты ($x^4$, $\sin^2 x$, $\cos 2x$) определены на всей числовой оси. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = (-x)^4 + 4\sin^2(-x) \cos(2(-x))$.

Используем свойства чётности и нечётности функций: степенная функция с чётным показателем является чётной, поэтому $(-x)^4 = x^4$; синус — нечётная функция, $\sin(-x) = -\sin x$, следовательно $\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$; косинус — чётная функция, $\cos(-2x) = \cos(2x)$.

Подставим преобразованные выражения обратно:
$f(-x) = x^4 + 4\sin^2 x \cos 2x$.

Сравнивая результат с исходной функцией, получаем $f(-x) = f(x)$.

Так как область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$, то функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = \frac{\tg x - \ctg x}{\cos x}$

Сначала определим область определения функции $D(f)$. Функция определена, когда знаменатель не равен нулю и все тригонометрические функции в ней существуют. Это требует выполнения условий: $\cos x \neq 0$ (из-за $\tg x$ и знаменателя) и $\sin x \neq 0$ (из-за $\ctg x$). Эти условия можно объединить: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Данная область определения симметрична относительно нуля (если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит).

Теперь найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{\tg(-x) - \ctg(-x)}{\cos(-x)}$.

Воспользуемся свойствами чётности и нечётности тригонометрических функций: тангенс и котангенс — нечётные функции ($\tg(-x) = -\tg x$, $\ctg(-x) = -\ctg x$), а косинус — чётная функция ($\cos(-x) = \cos x$).

Подставим эти свойства в выражение для $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{-\tg x - (-\ctg x)}{\cos x} = \frac{-\tg x + \ctg x}{\cos x} = \frac{-(\tg x - \ctg x)}{\cos x}$.

Таким образом, мы получили, что $f(-x) = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.