Номер 5, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3-2x} < x;$

2) $\sqrt{5x-6} > x.$

Решим неравенство $ \sqrt{3-2x} < x $.

Это иррациональное неравенство вида $ \sqrt{f(x)} < g(x) $. Оно равносильно системе неравенств, которая учитывает область определения корня и условие, при котором можно возводить обе части в квадрат:

$ \begin{cases} 3-2x \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x > 0 & \text{(правая часть больше левой, которая неотрицательна)} \\ 3-2x < x^2 & \text{(возводим обе неотрицательные части в квадрат)} \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. $ 3-2x \ge 0 $
$ -2x \ge -3 $
$ 2x \le 3 $
$ x \le 1.5 $

2. $ x > 0 $

3. $ 3-2x < x^2 $
$ 0 < x^2 + 2x - 3 $
$ x^2 + 2x - 3 > 0 $
Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 + 2x - 3 = 0 $. Используя теорему Виета, получаем корни $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -3 $. Графиком функции $ y = x^2 + 2x - 3 $ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $ x^2 + 2x - 3 > 0 $ выполняется при $ x \in (-\infty; -3) \cup (1; \infty) $.

Теперь необходимо найти пересечение решений всех трех неравенств:

$ \begin{cases} x \le 1.5 \\ x > 0 \\ x \in (-\infty; -3) \cup (1; \infty) \end{cases} $

Из первых двух неравенств следует, что $ x \in (0; 1.5] $. Найдем пересечение этого промежутка с решением третьего неравенства: $ (0; 1.5] \cap ((-\infty; -3) \cup (1; \infty)) $. Пересечением является интервал $ (1; 1.5] $.

Ответ: $ (1; 1.5] $

Решим неравенство $ \sqrt{5x-6} > x $.

Это иррациональное неравенство вида $ \sqrt{f(x)} > g(x) $. Его решение эквивалентно совокупности двух систем.

Первый случай: правая часть $ x $ отрицательна. Неравенство будет выполняться для всех $ x $ из области определения, так как квадратный корень всегда неотрицателен.

$ \begin{cases} 5x-6 \ge 0 & \text{(область определения корня)} \\ x < 0 \end{cases} $

Решаем эту систему:
$ \begin{cases} 5x \ge 6 \\ x < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1.2 \\ x < 0 \end{cases} $
Данная система не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно больше или равны 1.2 и меньше 0.

Второй случай: правая часть $ x $ неотрицательна. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат.

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ 5x-6 > x^2 \end{cases} $

(Условие $ 5x-6 \ge 0 $ здесь избыточно, так как из $ 5x-6 > x^2 $ и $ x^2 \ge 0 $ следует, что $ 5x-6 > 0 $).

Решим второе неравенство системы:
$ 5x-6 > x^2 $
$ 0 > x^2 - 5x + 6 $
$ x^2 - 5x + 6 < 0 $
Найдем корни уравнения $ x^2 - 5x + 6 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $. Графиком функции $ y = x^2 - 5x + 6 $ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $ y < 0 $ выполняется между корнями. Следовательно, решение неравенства: $ x \in (2; 3) $.

Теперь вернемся к системе для второго случая:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \in (2; 3) \end{cases} $

Пересечением этих условий является интервал $ (2; 3) $.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений двух случаев. Так как первый случай не дал решений, итоговый ответ совпадает с решением второго случая.

Ответ: $ (2; 3) $