Номер 1, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Постройте график функции $y = \left(\left(x^2 - 1\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{-3}$.

Для построения графика функции $y = \left(\left(x^2 - 1\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{-3}$ проведем ее полное исследование.

1. Упрощение выражения и нахождение области определения

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим формулу функции:

$y = \left(\left(x^2 - 1\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{-3} = \left(x^2 - 1\right)^{\frac{1}{3} \cdot (-3)} = \left(x^2 - 1\right)^{-1} = \frac{1}{x^2 - 1}$.

Область определения функции (ОДЗ) находится из условия, что знаменатель дроби не равен нулю:

$x^2 - 1 \neq 0$

$(x - 1)(x + 1) \neq 0$

$x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Исследование на четность

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} = y(x)$.

Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Нахождение точек пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy:

Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = \frac{1}{0^2 - 1} = \frac{1}{-1} = -1$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -1)$.

Пересечение с осью Ox:

Для этого приравняем $y$ к нулю:

$\frac{1}{x^2 - 1} = 0$.

Это уравнение не имеет решений, так как числитель равен 1. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

4. Нахождение асимптот графика

Вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции, то есть при $x = -1$ и $x = 1$. Найдем пределы функции при приближении к этим точкам:

$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{+0} = +\infty$

$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{-0} = -\infty$

$\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{-0} = -\infty$

$\lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{+0} = +\infty$

Прямые $x=1$ и $x=-1$ являются вертикальными асимптотами.

Горизонтальная асимптота:

Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - 1} = 0$.

Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

5. Исследование на монотонность и экстремумы

Найдем первую производную функции:

$y' = \left(\frac{1}{x^2 - 1}\right)' = \left((x^2 - 1)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x^2 - 1)^{-2} \cdot (x^2 - 1)' = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$-\frac{2x}{(x^2 - 1)^2} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$.

Знаменатель $(x^2 - 1)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной зависит только от знака числителя $-2x$.

• При $x \in (-\infty; -1)$ и $x \in (-1; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 1)$ и $x \in (1; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y(0) = -1$.

Точка локального максимума: $(0; -1)$.

6. Исследование на выпуклость и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

$y'' = \left(-\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}\right)' = \frac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$.

Числитель $2(3x^2+1)$ всегда положителен. Знак второй производной зависит от знака знаменателя $(x^2-1)^3$.

• При $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, $x^2 - 1 > 0$, следовательно $y'' > 0$. График функции выпуклый вниз (вогнутый).
• При $x \in (-1; 1)$, $x^2 - 1 < 0$, следовательно $y'' < 0$. График функции выпуклый вверх (выпуклый).

Так как $y'' \neq 0$ ни в одной точке, точек перегиба у графика нет.

7. Построение графика

На основе проведенного исследования можно построить график. Он состоит из трех ветвей:

1. На интервале $(-\infty; -1)$: график расположен в верхней полуплоскости, приближается к асимптотам $y=0$ слева и $x=-1$ сверху. Функция возрастает и выпукла вниз.
2. На интервале $(-1; 1)$: график представляет собой "шапку", расположенную в нижней полуплоскости. Он проходит через точку локального максимума $(0; -1)$, которая также является точкой пересечения с осью Oy. Ветви графика уходят вниз к вертикальным асимптотам $x=-1$ и $x=1$. Функция возрастает на $(-1; 0)$ и убывает на $(0; 1)$, и на всем интервале выпукла вверх.
3. На интервале $(1; +\infty)$: график симметричен ветви на интервале $(-\infty; -1)$ относительно оси Oy. Он расположен в верхней полуплоскости, приближается к асимптотам $x=1$ сверху и $y=0$ справа. Функция убывает и выпукла вниз.

Для большей точности можно найти значения в нескольких точках: $y(2) = \frac{1}{2^2-1} = \frac{1}{3}$; $y(-2) = \frac{1}{3}$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ симметричен относительно оси Oy и состоит из трех ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x=-1$ и $x=1$. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой. На интервале $(-1, 1)$ график имеет локальный максимум в точке $(0, -1)$ и направлен ветвями вниз. На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$ ветви графика находятся в верхней полуплоскости и стремятся к асимптотам.