Номер 1, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Степенная функция.

Корень n-й степени и его свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $3 \sqrt{\frac{3^9 \cdot 7^3}{2^{12}}}$;

2) $\sqrt[4]{162} \cdot \sqrt[4]{8}$;

3) $\sqrt[4]{6-2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6+2\sqrt{5}}$;

4) $\sqrt[4]{108-54\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{3}}.$

1) $\sqrt[3]{\frac{3^9 \cdot 7^3}{2^{12}}}$

Для решения применим свойства корней: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[3]{\frac{3^9 \cdot 7^3}{2^{12}}} = \frac{\sqrt[3]{3^9 \cdot 7^3}}{\sqrt[3]{2^{12}}} = \frac{\sqrt[3]{3^9} \cdot \sqrt[3]{7^3}}{\sqrt[3]{2^{12}}} = \frac{3^{\frac{9}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{2^{\frac{12}{3}}} = \frac{3^3 \cdot 7^1}{2^4} = \frac{27 \cdot 7}{16} = \frac{189}{16}$.

Ответ можно представить в виде смешанной дроби: $11\frac{13}{16}$.

Ответ: $\frac{189}{16}$.

2) $\sqrt[4]{162} \cdot \sqrt[4]{8}$

Используем свойство произведения корней одной степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[4]{162} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{162 \cdot 8}$.

Для упрощения вычислений разложим подкоренные числа на простые множители:

$162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$

$8 = 2^3$

Тогда произведение под корнем будет равно $162 \cdot 8 = (2 \cdot 3^4) \cdot 2^3 = 2^{1+3} \cdot 3^4 = 2^4 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4$.

Таким образом, выражение сводится к $\sqrt[4]{6^4} = 6$.

Ответ: $6$.

3) $\sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}}$

Применим свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[4]{(6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5})}$.

Выражение в скобках под корнем является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=6$ и $b=2\sqrt{5}$.

$(6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 = 36 - (2^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = 36 - (4 \cdot 5) = 36 - 20 = 16$.

Подставим полученное значение обратно под корень: $\sqrt[4]{16}$.

Так как $16 = 2^4$, то $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Ответ: $2$.

4) $\sqrt[4]{108 - 54\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{3}}$

Упростим первый множитель. Для этого представим подкоренное выражение $108 - 54\sqrt{3}$ в виде полного квадрата $(a-b\sqrt{c})^2 = a^2+b^2c - 2ab\sqrt{c}$.

Пусть $108 - 54\sqrt{3} = (x - y\sqrt{3})^2 = x^2 + 3y^2 - 2xy\sqrt{3}$.

Приравнивая соответствующие части, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 3y^2 = 108 \\ 2xy = 54 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $xy=27$. Методом подбора находим, что пара $x=9, y=3$ является решением. Проверим ее в первом уравнении:

$9^2 + 3 \cdot 3^2 = 81 + 3 \cdot 9 = 81 + 27 = 108$.

Равенство выполняется, следовательно $108 - 54\sqrt{3} = (9 - 3\sqrt{3})^2$.

Тогда первый множитель преобразуется в: $\sqrt[4]{(9 - 3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 - 3\sqrt{3}}$. (Мы использовали то, что $\sqrt[4]{a^2} = \sqrt{\sqrt{a^2}} = \sqrt{|a|}$. Так как $9 = \sqrt{81}$, а $3\sqrt{3} = \sqrt{27}$, то $9-3\sqrt{3} > 0$, и знак модуля можно опустить).

Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt{9 - 3\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{3}}$.

Объединим под один корень: $\sqrt{(9 - 3\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}$.

Раскроем скобки: $(9 - 3\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 3(3 - \sqrt{3})(3+\sqrt{3})$.

Применим формулу разности квадратов: $3(3^2 - (\sqrt{3})^2) = 3(9-3) = 3 \cdot 6 = 18$.

Итоговое значение выражения равно $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Ответ: $3\sqrt{2}$.