Номер 6, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|3|x|-1|=x-a$ имеет один корень?

Для решения уравнения $|3|x| - 1| = x - a$ найдем, при каких значениях параметра $a$ оно имеет ровно один корень. Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - a \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} 3|x| - 1 = x - a \\ 3|x| - 1 = -(x - a) \end{gathered} \right.\end{cases}$

Рассмотрим два уравнения из совокупности и для каждого найденного корня $x$ будем проверять выполнение условия $x \ge a$.

1. Первое уравнение: $3|x| - 1 = x - a$

Перепишем его в виде $3|x| - x = 1 - a$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Если $x \ge 0$, уравнение принимает вид $3x - x = 1 - a$, откуда $2x = 1 - a$, и $x_1 = \frac{1-a}{2}$.
  Этот корень существует при $x_1 \ge 0$, то есть $\frac{1-a}{2} \ge 0$, что означает $1-a \ge 0$, или $a \le 1$.
• Если $x < 0$, уравнение принимает вид $-3x - x = 1 - a$, откуда $-4x = 1 - a$, и $x_2 = \frac{a-1}{4}$.
  Этот корень существует при $x_2 < 0$, то есть $\frac{a-1}{4} < 0$, что означает $a-1 < 0$, или $a < 1$.

2. Второе уравнение: $3|x| - 1 = -x + a$

Перепишем его в виде $3|x| + x = 1 + a$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Если $x \ge 0$, уравнение принимает вид $3x + x = 1 + a$, откуда $4x = 1 + a$, и $x_3 = \frac{1+a}{4}$.
  Этот корень существует при $x_3 \ge 0$, то есть $\frac{1+a}{4} \ge 0$, что означает $1+a \ge 0$, или $a \ge -1$.
• Если $x < 0$, уравнение принимает вид $-3x + x = 1 + a$, откуда $-2x = 1 + a$, и $x_4 = \frac{-1-a}{2}$.
  Этот корень существует при $x_4 < 0$, то есть $\frac{-1-a}{2} < 0$, что означает $-1-a < 0$, или $a > -1$.

Теперь для каждого из четырех потенциальных корней ($x_1, x_2, x_3, x_4$) проверим условие $x \ge a$ и определим, при каких значениях $a$ они являются решениями исходного уравнения.

• Корень $x_1 = \frac{1-a}{2}$ (существует при $a \le 1$):
  Проверяем условие $\frac{1-a}{2} \ge a$.
  $1 - a \ge 2a \implies 1 \ge 3a \implies a \le \frac{1}{3}$.
  Таким образом, $x_1$ является решением при $a \le \frac{1}{3}$.
• Корень $x_2 = \frac{a-1}{4}$ (существует при $a < 1$):
  Проверяем условие $\frac{a-1}{4} \ge a$.
  $a - 1 \ge 4a \implies -1 \ge 3a \implies a \le -\frac{1}{3}$.
  Таким образом, $x_2$ является решением при $a \le -\frac{1}{3}$.
• Корень $x_3 = \frac{1+a}{4}$ (существует при $a \ge -1$):
  Проверяем условие $\frac{1+a}{4} \ge a$.
  $1 + a \ge 4a \implies 1 \ge 3a \implies a \le \frac{1}{3}$.
  Таким образом, $x_3$ является решением при $-1 \le a \le \frac{1}{3}$.
• Корень $x_4 = \frac{-1-a}{2}$ (существует при $a > -1$):
  Проверяем условие $\frac{-1-a}{2} \ge a$.
  $-1 - a \ge 2a \implies -1 \ge 3a \implies a \le -\frac{1}{3}$.
  Таким образом, $x_4$ является решением при $-1 < a \le -\frac{1}{3}$.

Теперь проанализируем количество различных корней в зависимости от значения параметра $a$, используя ключевые точки $a = -1, a = -1/3, a = 1/3$.

• При $a > \frac{1}{3}$: ни одно из условий не выполняется, решений нет (0 корней).
• При $a = \frac{1}{3}$:
  • $x_1$ является решением: $x_1 = \frac{1-1/3}{2} = \frac{1}{3}$.
  • $x_2$ не является решением.
  • $x_3$ является решением: $x_3 = \frac{1+1/3}{4} = \frac{1}{3}$.
  • $x_4$ не является решением.
  Корни $x_1$ и $x_3$ совпадают: $x = 1/3$. Таким образом, уравнение имеет ровно один корень.
• При $-\frac{1}{3} < a < \frac{1}{3}$:
  • $x_1$ является решением.
  • $x_2$ не является решением.
  • $x_3$ является решением.
  • $x_4$ не является решением.
  Корни $x_1$ и $x_3$ различны. Уравнение имеет два корня.
• При $a = -\frac{1}{3}$:
  • $x_1$ является решением: $x_1 = \frac{1-(-1/3)}{2} = \frac{2}{3}$.
  • $x_2$ является решением: $x_2 = \frac{-1/3-1}{4} = -\frac{1}{3}$.
  • $x_3$ является решением: $x_3 = \frac{1+(-1/3)}{4} = \frac{1}{6}$.
  • $x_4$ является решением: $x_4 = \frac{-1-(-1/3)}{2} = -\frac{1}{3}$.
  Имеем три различных корня: $\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}$.
• При $-1 \le a < -\frac{1}{3}$:
  • $x_1$ является решением.
  • $x_2$ является решением.
  • $x_3$ является решением.
  • $x_4$ является решением.
  Все четыре корня существуют и различны. Уравнение имеет четыре корня.
• При $a < -1$:
  • $x_1$ является решением.
  • $x_2$ является решением.
  • $x_3$ не является решением.
  • $x_4$ не является решением.
  Корни $x_1$ и $x_2$ различны. Уравнение имеет два корня.

Из проведенного анализа следует, что уравнение имеет один корень только при $a = \frac{1}{3}$.

Ответ: $a = \frac{1}{3}$.