Страница 107 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Функция и её свойства. Метод интервалов

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 2x - 3$ на промежутке $[-1; 2]$.

1. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $y = x^2 - 2x - 3$ на заданном отрезке $[-1; 2]$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти координату $x$ вершины параболы. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Это означает, что в вершине параболы будет находиться точка минимума функции. Абсцисса вершины параболы $x_0$ вычисляется по формуле:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
В нашем случае $a=1$ и $b=-2$, поэтому:
$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

2. Проверить, принадлежит ли найденная точка $x_0$ заданному отрезку $[-1; 2]$.
Поскольку $-1 \le 1 \le 2$, точка вершины $x_0 = 1$ принадлежит отрезку.

3. Вычислить значения функции в точке вершины и на концах отрезка $[-1; 2]$. Наибольшее и наименьшее значения будут среди этих вычисленных значений.
- Значение в вершине ($x=1$):
$y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$
- Значение на левом конце отрезка ($x=-1$):
$y(-1) = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$
- Значение на правом конце отрезка ($x=2$):
$y(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$

4. Сравнить полученные значения: $y(1) = -4$, $y(-1) = 0$, $y(2) = -3$.
Наименьшее из этих значений равно -4.
Наибольшее из этих значений равно 0.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 2]$ равно 0, а наименьшее значение равно -4.

2. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = x^4 - 2x^2 + 3;$

2) $y = \frac{2x}{5 - x^2};$

3) $y = \frac{x + 2}{x^2 + 2x}.$

Дана функция $y = x^4 - 2x^2 + 3$. Обозначим ее как $f(x)$.

Для исследования функции на чётность необходимо выполнить два шага:
1. Проверить симметричность области определения $D(f)$ относительно начала координат.
2. Проверить выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ ( для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции).

Область определения данной функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Теперь найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3$.

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$.
Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

Дана функция $y = \frac{2x}{5 - x^2}$. Обозначим ее как $f(x)$.

Найдем область определения функции. Она определена для всех $x$, при которых знаменатель не равен нулю: $5 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 5 \Rightarrow x \neq \pm\sqrt{5}$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{2(-x)}{5 - (-x)^2} = \frac{-2x}{5 - x^2} = -\frac{2x}{5 - x^2}$.

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$.
Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

Дана функция $y = \frac{x + 2}{x^2 + 2x}$. Обозначим ее как $f(x)$.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 + 2x \neq 0 \Rightarrow x(x + 2) \neq 0$.
Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$.
Область определения функции: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для того чтобы функция была чётной или нечётной, ее область определения должна быть симметричной относительно начала координат (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$). Проверим это свойство. Возьмем, например, точку $x=2$. Она принадлежит области определения. Однако, симметричная ей точка $-x = -2$ не принадлежит области определения.

Поскольку область определения функции не является симметричной относительно начала координат, функция не может быть ни чётной, ни нечётной. Такие функции называют функциями общего вида.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Найдите функцию, обратную к функции $y = 9 - 3x$.

Чтобы найти функцию, обратную к данной, нужно выполнить следующие шаги:

1. В исходном уравнении $y = 9 - 3x$ выразить переменную $x$ через $y$.
2. В полученном выражении поменять местами $x$ и $y$, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде.

1. Выразим $x$ через $y$.

Исходное уравнение:

$y = 9 - 3x$

Перенесем $3x$ в левую часть, а $y$ — в правую часть уравнения:

$3x = 9 - y$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{9 - y}{3}$

Это выражение можно также записать в виде:

$x = 3 - \frac{y}{3}$

2. Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$.

Теперь в полученном уравнении $x = 3 - \frac{y}{3}$ меняем переменные местами, чтобы получить обратную функцию $y(x)$:

$y = 3 - \frac{x}{3}$

Это и есть искомая обратная функция.

Ответ: $y = 3 - \frac{x}{3}$

4. Постройте график функции $y = \sqrt{3|x|-2}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{3|x| - 2}$ выполним поэтапный анализ.

1. Область определения функции

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$3|x| - 2 \ge 0$

$3|x| \ge 2$

$|x| \ge \frac{2}{3}$

Данное неравенство эквивалентно совокупности $x \ge \frac{2}{3}$ и $x \le -\frac{2}{3}$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [\frac{2}{3}; \infty)$.

2. Симметрия графика

Проверим функцию на четность, найдя значение $y(-x)$:

$y(-x) = \sqrt{3|-x| - 2} = \sqrt{3|x| - 2} = y(x)$

Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Следовательно, мы можем построить часть графика для $x \ge \frac{2}{3}$, а затем симметрично отразить ее относительно оси Oy, чтобы получить вторую часть.

3. Построение графика

Рассмотрим случай $x \ge \frac{2}{3}$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{3x - 2}$.

Это ветвь параболы. Для ее построения найдем координаты нескольких ключевых точек:

- При $x = \frac{2}{3}$ (начальная точка ветви), $y = \sqrt{3 \cdot \frac{2}{3} - 2} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(\frac{2}{3}; 0)$.
- При $x = 1$, $y = \sqrt{3 \cdot 1 - 2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1; 1)$.
- При $x = 2$, $y = \sqrt{3 \cdot 2 - 2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2; 2)$.
- При $x = 6$, $y = \sqrt{3 \cdot 6 - 2} = \sqrt{16} = 4$. Точка $(6; 4)$.

Строим эту ветвь, соединяя полученные точки плавной кривой.

Теперь, используя свойство симметрии, отражаем построенную ветвь относительно оси Oy. Получаем вторую ветвь, которая будет проходить через точки $(-\frac{2}{3}; 0)$, $(-1; 1)$, $(-2; 2)$, $(-6; 4)$.

Объединение этих двух ветвей и является искомым графиком функции.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3|x| - 2}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси ординат. Правая ветвь является графиком функции $y = \sqrt{3x - 2}$ для $x \ge \frac{2}{3}$ и начинается в точке $(\frac{2}{3}; 0)$, проходя через точки $(1; 1)$ и $(2; 2)$. Левая ветвь является ее зеркальным отражением относительно оси Oy, начинается в точке $(-\frac{2}{3}; 0)$ и проходит через точки $(-1; 1)$ и $(-2; 2)$.

5. Решите неравенство:

1) $(x + 1)(x - 11)(x + 9) > 0;$

2) $(5 - x)(x - 8)(x - 6)^2 \leq 0;$

3) $\frac{x}{x + 3} + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^2 + 3x} \geq 0.$

1) $(x + 1)(x - 11)(x + 9) > 0$

Для решения данного неравенства применим метод интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$(x + 1)(x - 11)(x + 9) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 11$, $x_3 = -9$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое ($>0$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; -1)$, $(-1; 11)$ и $(11; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом из полученных интервалов. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(11; +\infty)$, например $x = 12$:

$(12 + 1)(12 - 11)(12 + 9) = 13 \cdot 1 \cdot 21 > 0$. Знак в этом интервале "+".

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться при переходе через корень.

Таким образом, знаки на интервалах будут следующими: $(-\infty; -9)$ — "−", $(-9; -1)$ — "+", $(-1; 11)$ — "−", $(11; +\infty)$ — "+".

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть те, где стоит знак "+".

Это интервалы $(-9; -1)$ и $(11; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-9; -1) \cup (11; +\infty)$.

2) $(5 - x)(x - 8)(x - 6)^2 \leq 0$

Преобразуем неравенство для удобства. Вынесем "-1" из первой скобки:

$-(x - 5)(x - 8)(x - 6)^2 \leq 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$(x - 5)(x - 8)(x - 6)^2 \geq 0$

Найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$(x - 5)(x - 8)(x - 6)^2 = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ (кратность 1), $x_2 = 8$ (кратность 1), $x_3 = 6$ (кратность 2, четная).

Отметим эти точки на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое ($\geq 0$), точки будут закрашенными. Определим знаки в интервалах.

В крайнем правом интервале $(8; +\infty)$ (например, при $x=10$) выражение $(10 - 5)(10 - 8)(10 - 6)^2$ положительно.

При переходе через корень $x=8$ (нечетная кратность) знак меняется на "−".

При переходе через корень $x=6$ (четная кратность) знак не меняется и остается "−".

При переходе через корень $x=5$ (нечетная кратность) знак меняется на "+".

Знаки на интервалах: $(-\infty; 5]$ — "+"; $[5; 6]$ — "−"; $[6; 8]$ — "−"; $[8; +\infty)$ — "+".

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+" и сами корни, в которых выражение равно нулю.

Решением являются промежутки $(-\infty; 5]$ и $[8; +\infty)$. Также точка $x=6$ является решением, так как в ней выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $\geq 0$.

Объединяя все решения, получаем:

Ответ: $x \in (-\infty; 5] \cup \{6\} \cup [8; +\infty)$.

3) $\frac{x}{x+3} + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^2+3x} \geq 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

$x \neq 0$

$x^2+3x = x(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq -3$.

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{x \cdot x}{x(x+3)} + \frac{5 \cdot (x+3)}{x(x+3)} - \frac{9}{x(x+3)} \geq 0$

$\frac{x^2 + 5(x+3) - 9}{x(x+3)} \geq 0$

$\frac{x^2 + 5x + 15 - 9}{x(x+3)} \geq 0$

$\frac{x^2 + 5x + 6}{x(x+3)} \geq 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Таким образом, $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$. Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+2)(x+3)}{x(x+3)} \geq 0$

С учетом ОДЗ ($x \neq -3$), мы можем сократить дробь на $(x+3)$. Получим неравенство $\frac{x+2}{x} \geq 0$, которое нужно решить при условии $x \neq -3$.

Решим неравенство $\frac{x+2}{x} \geq 0$ методом интервалов. Нуль числителя: $x = -2$ (точка закрашенная). Нуль знаменателя: $x = 0$ (точка выколотая).

Определим знаки в интервалах $(-\infty; -2]$, $[-2; 0)$ и $(0; +\infty)$.

• Интервал $(0; +\infty)$: знак "+".
• Интервал $(-2; 0)$: знак "−".
• Интервал $(-\infty; -2)$: знак "+".

Решением неравенства $\frac{x+2}{x} \geq 0$ являются промежутки $(-\infty; -2] \cup (0; +\infty)$.

Теперь учтем ОДЗ, а именно условие $x \neq -3$. Точка $x=-3$ попадает в промежуток $(-\infty; -2]$, поэтому ее необходимо исключить из решения.

Итоговое решение:

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -2] \cup (0; +\infty)$.

6. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|3|x|-1|=x-a$ имеет один корень?

Для решения уравнения $|3|x| - 1| = x - a$ найдем, при каких значениях параметра $a$ оно имеет ровно один корень. Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - a \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} 3|x| - 1 = x - a \\ 3|x| - 1 = -(x - a) \end{gathered} \right.\end{cases}$

Рассмотрим два уравнения из совокупности и для каждого найденного корня $x$ будем проверять выполнение условия $x \ge a$.

1. Первое уравнение: $3|x| - 1 = x - a$

Перепишем его в виде $3|x| - x = 1 - a$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Если $x \ge 0$, уравнение принимает вид $3x - x = 1 - a$, откуда $2x = 1 - a$, и $x_1 = \frac{1-a}{2}$.
  Этот корень существует при $x_1 \ge 0$, то есть $\frac{1-a}{2} \ge 0$, что означает $1-a \ge 0$, или $a \le 1$.
• Если $x < 0$, уравнение принимает вид $-3x - x = 1 - a$, откуда $-4x = 1 - a$, и $x_2 = \frac{a-1}{4}$.
  Этот корень существует при $x_2 < 0$, то есть $\frac{a-1}{4} < 0$, что означает $a-1 < 0$, или $a < 1$.

2. Второе уравнение: $3|x| - 1 = -x + a$

Перепишем его в виде $3|x| + x = 1 + a$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Если $x \ge 0$, уравнение принимает вид $3x + x = 1 + a$, откуда $4x = 1 + a$, и $x_3 = \frac{1+a}{4}$.
  Этот корень существует при $x_3 \ge 0$, то есть $\frac{1+a}{4} \ge 0$, что означает $1+a \ge 0$, или $a \ge -1$.
• Если $x < 0$, уравнение принимает вид $-3x + x = 1 + a$, откуда $-2x = 1 + a$, и $x_4 = \frac{-1-a}{2}$.
  Этот корень существует при $x_4 < 0$, то есть $\frac{-1-a}{2} < 0$, что означает $-1-a < 0$, или $a > -1$.

Теперь для каждого из четырех потенциальных корней ($x_1, x_2, x_3, x_4$) проверим условие $x \ge a$ и определим, при каких значениях $a$ они являются решениями исходного уравнения.

• Корень $x_1 = \frac{1-a}{2}$ (существует при $a \le 1$):
  Проверяем условие $\frac{1-a}{2} \ge a$.
  $1 - a \ge 2a \implies 1 \ge 3a \implies a \le \frac{1}{3}$.
  Таким образом, $x_1$ является решением при $a \le \frac{1}{3}$.
• Корень $x_2 = \frac{a-1}{4}$ (существует при $a < 1$):
  Проверяем условие $\frac{a-1}{4} \ge a$.
  $a - 1 \ge 4a \implies -1 \ge 3a \implies a \le -\frac{1}{3}$.
  Таким образом, $x_2$ является решением при $a \le -\frac{1}{3}$.
• Корень $x_3 = \frac{1+a}{4}$ (существует при $a \ge -1$):
  Проверяем условие $\frac{1+a}{4} \ge a$.
  $1 + a \ge 4a \implies 1 \ge 3a \implies a \le \frac{1}{3}$.
  Таким образом, $x_3$ является решением при $-1 \le a \le \frac{1}{3}$.
• Корень $x_4 = \frac{-1-a}{2}$ (существует при $a > -1$):
  Проверяем условие $\frac{-1-a}{2} \ge a$.
  $-1 - a \ge 2a \implies -1 \ge 3a \implies a \le -\frac{1}{3}$.
  Таким образом, $x_4$ является решением при $-1 < a \le -\frac{1}{3}$.

Теперь проанализируем количество различных корней в зависимости от значения параметра $a$, используя ключевые точки $a = -1, a = -1/3, a = 1/3$.

• При $a > \frac{1}{3}$: ни одно из условий не выполняется, решений нет (0 корней).
• При $a = \frac{1}{3}$:
  • $x_1$ является решением: $x_1 = \frac{1-1/3}{2} = \frac{1}{3}$.
  • $x_2$ не является решением.
  • $x_3$ является решением: $x_3 = \frac{1+1/3}{4} = \frac{1}{3}$.
  • $x_4$ не является решением.
  Корни $x_1$ и $x_3$ совпадают: $x = 1/3$. Таким образом, уравнение имеет ровно один корень.
• При $-\frac{1}{3} < a < \frac{1}{3}$:
  • $x_1$ является решением.
  • $x_2$ не является решением.
  • $x_3$ является решением.
  • $x_4$ не является решением.
  Корни $x_1$ и $x_3$ различны. Уравнение имеет два корня.
• При $a = -\frac{1}{3}$:
  • $x_1$ является решением: $x_1 = \frac{1-(-1/3)}{2} = \frac{2}{3}$.
  • $x_2$ является решением: $x_2 = \frac{-1/3-1}{4} = -\frac{1}{3}$.
  • $x_3$ является решением: $x_3 = \frac{1+(-1/3)}{4} = \frac{1}{6}$.
  • $x_4$ является решением: $x_4 = \frac{-1-(-1/3)}{2} = -\frac{1}{3}$.
  Имеем три различных корня: $\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}$.
• При $-1 \le a < -\frac{1}{3}$:
  • $x_1$ является решением.
  • $x_2$ является решением.
  • $x_3$ является решением.
  • $x_4$ является решением.
  Все четыре корня существуют и различны. Уравнение имеет четыре корня.
• При $a < -1$:
  • $x_1$ является решением.
  • $x_2$ является решением.
  • $x_3$ не является решением.
  • $x_4$ не является решением.
  Корни $x_1$ и $x_2$ различны. Уравнение имеет два корня.

Из проведенного анализа следует, что уравнение имеет один корень только при $a = \frac{1}{3}$.

Ответ: $a = \frac{1}{3}$.