Страница 105 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 45

Вторая производная.

Понятие выпуклости функции

1. Найдите вторую производную функции:

1) $y = (2x - 1)^6$;

2) $y = (x + 4)^2 \cos x$.

2. Тело массой 5 кг движется по координатной прямой по закону $s(t) = t^3 - 8t + 7$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите силу $F(t) = ma(t)$, действующую на тело через 2 с после начала движения.

3. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = x^2 + \sqrt{x - 2}$;

2) $y = x^5 - 5x^4 + 18x - 9$.

1. Найдите вторую производную функции:

1) Для функции $y = (2x - 1)^6$ найдем первую производную, используя правило производной сложной функции:

$y' = 6(2x - 1)^5 \cdot (2x-1)' = 6(2x - 1)^5 \cdot 2 = 12(2x - 1)^5$.

Теперь найдем вторую производную, дифференцируя первую:

$y'' = (12(2x - 1)^5)' = 12 \cdot 5(2x - 1)^4 \cdot (2x-1)' = 60(2x - 1)^4 \cdot 2 = 120(2x - 1)^4$.

Ответ: $y'' = 120(2x - 1)^4$.

2) Для функции $y = (x + 4)^2 \cos x$ найдем первую производную, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = ((x + 4)^2)' \cos x + (x + 4)^2 (\cos x)' = 2(x+4) \cos x - (x+4)^2 \sin x$.

Найдем вторую производную, снова применяя правило производной произведения для каждого слагаемого:

$y'' = (2(x+4) \cos x)' - ((x+4)^2 \sin x)'$

$y'' = (2\cos x - 2(x+4)\sin x) - (2(x+4)\sin x + (x+4)^2 \cos x)$

$y'' = 2\cos x - 2(x+4)\sin x - 2(x+4)\sin x - (x+4)^2 \cos x$

$y'' = (2 - (x+4)^2)\cos x - 4(x+4)\sin x$.

Упростим выражение:

$y'' = (2 - (x^2+8x+16))\cos x - (4x+16)\sin x = (-x^2 - 8x - 14)\cos x - (4x + 16)\sin x$.

Ответ: $y'' = -(x^2 + 8x + 14)\cos x - (4x + 16)\sin x$.

2. Тело массой 5 кг...

Дано: масса тела $m = 5$ кг, закон движения $s(t) = t^3 - 8t + 7$. Нужно найти силу $F(t) = ma(t)$ при $t=2$ с.

Скорость тела является первой производной от перемещения по времени:

$v(t) = s'(t) = (t^3 - 8t + 7)' = 3t^2 - 8$.

Ускорение тела является второй производной от перемещения по времени (или первой производной от скорости):

$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 8)' = 6t$.

Найдем ускорение в момент времени $t = 2$ с:

$a(2) = 6 \cdot 2 = 12$ м/с$^2$.

Теперь найдем силу, действующую на тело, по второму закону Ньютона $F = ma$:

$F(2) = m \cdot a(2) = 5 \text{ кг} \cdot 12 \text{ м/с}^2 = 60$ Н.

Ответ: 60 Н.

3. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = x^2 + \sqrt{x - 2}$.

Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. $D(y) = [2, +\infty)$.

Найдем первую производную:

$y' = (x^2 + (x-2)^{1/2})' = 2x + \frac{1}{2}(x-2)^{-1/2} = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = (2x + \frac{1}{2}(x-2)^{-1/2})' = 2 - \frac{1}{4}(x-2)^{-3/2} = 2 - \frac{1}{4\sqrt{(x-2)^3}}$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю. $y''$ определена при $x>2$.

$y'' = 0 \Rightarrow 2 - \frac{1}{4\sqrt{(x-2)^3}} = 0 \Rightarrow 2 = \frac{1}{4\sqrt{(x-2)^3}}$.

$8\sqrt{(x-2)^3} = 1 \Rightarrow \sqrt{(x-2)^3} = \frac{1}{8} \Rightarrow (x-2)^3 = \frac{1}{64}$.

$x-2 = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 2 + \frac{1}{4} = 2.25$.

Исследуем знак $y''$ на интервалах $(2; 2.25)$ и $(2.25; +\infty)$.

Если $x \in (2; 2.25)$, то $y'' < 0$, функция выпукла вверх.

Если $x \in (2.25; +\infty)$, то $y'' > 0$, функция выпукла вниз.

Поскольку в точке $x = 2.25$ меняется знак второй производной, это точка перегиба. Найдем её ординату:

$y(2.25) = (2.25)^2 + \sqrt{2.25-2} = (\frac{9}{4})^2 + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{81}{16} + \frac{1}{2} = \frac{89}{16}$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(2; 2.25)$, выпукла вниз на промежутке $(2.25; +\infty)$; точка перегиба: $(2.25; \frac{89}{16})$.

2) $y = x^5 - 5x^4 + 18x - 9$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем первую и вторую производные:

$y' = 5x^4 - 20x^3 + 18$.

$y'' = 20x^3 - 60x^2 = 20x^2(x-3)$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $y'' = 0$ при $20x^2(x-3) = 0$, то есть при $x=0$ и $x=3$.

Исследуем знак $y''$ на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую прямую: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

На интервале $(-\infty; 0)$: $y'' < 0$, функция выпукла вверх.

На интервале $(0; 3)$: $y'' < 0$, функция выпукла вверх.

На интервале $(3; +\infty)$: $y'' > 0$, функция выпукла вниз.

В точке $x=0$ знак второй производной не меняется, поэтому она не является точкой перегиба. В точке $x=3$ знак $y''$ меняется с минуса на плюс, следовательно, это точка перегиба. Найдем ординату точки перегиба:

$y(3) = 3^5 - 5(3)^4 + 18(3) - 9 = 243 - 5(81) + 54 - 9 = 243 - 405 + 45 = -117$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty; 3)$, выпукла вниз на промежутке $(3; +\infty)$; точка перегиба: $(3; -117)$.

Самостоятельная работа № 46

Построение графиков функций

1. Сколько корней имеет уравнение $2x^3 + 3x^2 = a$ в зависимости от значения параметра $a$?

2. Постройте график функции $f(x) = \frac{10x}{x^2 + 25}$.

1.

Количество корней уравнения $2x^3 + 3x^2 = a$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x) = 2x^3 + 3x^2$ с горизонтальной прямой $y = a$. Для определения этого количества исследуем функцию $f(x)$.

1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (2x^3 + 3x^2)' = 6x^2 + 6x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$6x^2 + 6x = 0$
$6x(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

3. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции:
- На интервале $(-\infty; -1)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

4. Найдем значения функции в точках экстремума:
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума. Значение функции: $y_{max} = f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 = -2 + 3 = 1$.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума. Значение функции: $y_{min} = f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 = 0$.

Теперь, зная экстремумы, мы можем определить количество корней уравнения в зависимости от значения параметра $a$:
- Если $a$ находится выше локального максимума ($a > 1$) или ниже локального минимума ($a < 0$), прямая $y=a$ пересекает график функции в одной точке. Уравнение имеет один корень.
- Если $a$ совпадает со значением локального максимума ($a = 1$) или локального минимума ($a = 0$), прямая $y=a$ пересекает график в двух точках. Уравнение имеет два корня.
- Если $a$ находится между локальным максимумом и минимумом ($0 < a < 1$), прямая $y=a$ пересекает график в трех точках. Уравнение имеет три корня.

Ответ:
- при $a < 0$ или $a > 1$ — 1 корень;
- при $a = 0$ или $a = 1$ — 2 корня;
- при $0 < a < 1$ — 3 корня.

2.

Для построения графика функции $f(x) = \frac{10x}{x^2 + 25}$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения.
Знаменатель $x^2 + 25$ всегда положителен ($x^2 + 25 \ge 25$), поэтому он никогда не равен нулю. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
Проверим значение $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{10(-x)}{(-x)^2 + 25} = -\frac{10x}{x^2 + 25} = -f(x)$.
Функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
- При $x=0$, $y = f(0) = \frac{0}{25} = 0$. График пересекает оси в точке $(0, 0)$.
- При $y=0$, $\frac{10x}{x^2 + 25} = 0$, что выполняется только при $10x = 0$, то есть $x=0$. Единственная точка пересечения — начало координат.

4. Асимптоты.
- Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.
- Найдем горизонтальную асимптоту, вычислив предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{10x}{x^2 + 25} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{10/x}{1 + 25/x^2} = \frac{0}{1+0} = 0$.
Прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой графика.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную по правилу дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{(10x)'(x^2 + 25) - 10x(x^2 + 25)'}{(x^2 + 25)^2} = \frac{10(x^2 + 25) - 10x(2x)}{(x^2 + 25)^2} = \frac{10x^2 + 250 - 20x^2}{(x^2 + 25)^2} = \frac{250 - 10x^2}{(x^2 + 25)^2}$.
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $f'(x) = 0 \Rightarrow 250 - 10x^2 = 0 \Rightarrow 10x^2 = 250 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$.
- На интервале $(-\infty; -5)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-5; 5)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(5; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x = -5$ находится локальный минимум. $f(-5) = \frac{10(-5)}{(-5)^2 + 25} = \frac{-50}{50} = -1$.
В точке $x = 5$ находится локальный максимум. $f(5) = \frac{10(5)}{5^2 + 25} = \frac{50}{50} = 1$.

6. Построение графика.
Используя полученную информацию, строим график. Он проходит через начало координат $(0,0)$, симметричен относительно него. При $x \to -\infty$ график приближается к оси OX снизу, достигает точки минимума $(-5, -1)$, затем возрастает, проходит через $(0,0)$, достигает точки максимума $(5, 1)$, после чего убывает, приближаясь к оси OX сверху при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции — кривая, симметричная относительно начала координат. Она имеет горизонтальную асимптоту $y=0$, точку локального минимума $(-5, -1)$ и точку локального максимума $(5, 1)$.