Страница 104 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 44

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 15x + 7$, $[0; 4];$

2) $f(x) = \sqrt{5 - 4x - x^2}$, $[-3; 0];$

3) $f(x) = x^2 - 10|x| + 21$, $[-1; 2].$

2. В полукруг радиуса $4\sqrt{5}$ см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

1)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 15x + 7$ на отрезке $[0; 4]$, мы найдем ее производную, определим критические точки, принадлежащие данному отрезку, и сравним значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 15x + 7)' = x^2 + 2x - 15$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$x^2 + 2x - 15 = 0$.
Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 3$.

3. Из найденных критических точек выбираем те, которые принадлежат отрезку $[0; 4]$.
Точка $x_1 = -5$ не принадлежит отрезку $[0; 4]$.
Точка $x_2 = 3$ принадлежит отрезку $[0; 4]$.

4. Вычисляем значения функции в точке $x = 3$ и на концах отрезка $x = 0$ и $x = 4$:
$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + (0)^2 - 15(0) + 7 = 7$.
$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 - 15(3) + 7 = 9 + 9 - 45 + 7 = -20$.
$f(4) = \frac{1}{3}(4)^3 + (4)^2 - 15(4) + 7 = \frac{64}{3} + 16 - 60 + 7 = \frac{64}{3} - 37 = \frac{64 - 111}{3} = -\frac{47}{3} = -15\frac{2}{3}$.

5. Сравниваем полученные значения: $7$, $-20$ и $-15\frac{2}{3}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно $7$.
Наименьшее значение функции на отрезке равно $-20$.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб.} = f(0) = 7$, наименьшее значение $f_{наим.} = f(3) = -20$.

2)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt{5 - 4x - x^2}$ на отрезке $[-3; 0]$.

1. Сначала определим область определения функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$5 - 4x - x^2 \ge 0 \implies x^2 + 4x - 5 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.
Следовательно, область определения функции: $x \in [-5; 1]$. Заданный отрезок $[-3; 0]$ полностью входит в область определения.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sqrt{5 - 4x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{5 - 4x - x^2}} \cdot (5 - 4x - x^2)' = \frac{-4 - 2x}{2\sqrt{5 - 4x - x^2}} = \frac{-(x+2)}{\sqrt{5 - 4x - x^2}}$.

3. Найдем критические точки. Производная равна нулю, когда ее числитель равен нулю:
$-(x+2) = 0 \implies x = -2$.
Эта точка принадлежит отрезку $[-3; 0]$.

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x = -2$ и на концах отрезка $x = -3$ и $x = 0$:
$f(-3) = \sqrt{5 - 4(-3) - (-3)^2} = \sqrt{5 + 12 - 9} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$f(-2) = \sqrt{5 - 4(-2) - (-2)^2} = \sqrt{5 + 8 - 4} = \sqrt{9} = 3$.
$f(0) = \sqrt{5 - 4(0) - (0)^2} = \sqrt{5}$.

5. Сравниваем полученные значения: $2\sqrt{2} \approx 2.83$, $3$ и $\sqrt{5} \approx 2.24$.
Наибольшее значение равно $3$.
Наименьшее значение равно $\sqrt{5}$.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб.} = f(-2) = 3$, наименьшее значение $f_{наим.} = f(0) = \sqrt{5}$.

3)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 - 10|x| + 21$ на отрезке $[-1; 2]$.

1. Функция содержит модуль $|x|$, поэтому ее можно рассматривать как кусочно-заданную.
При $x \in [0; 2]$: $|x|=x$, и функция имеет вид $f(x) = x^2 - 10x + 21$.
При $x \in [-1; 0)$: $|x|=-x$, и функция имеет вид $f(x) = x^2 + 10x + 21$.

2. Найдем производную функции на каждом из интервалов:
При $x > 0$: $f'(x) = (x^2 - 10x + 21)' = 2x - 10$.
При $x < 0$: $f'(x) = (x^2 + 10x + 21)' = 2x + 10$.
В точке $x=0$ производная не существует (график имеет излом), поэтому $x=0$ является критической точкой.

3. Найдем другие критические точки, приравняв производные к нулю:
$2x - 10 = 0 \implies x = 5$. Эта точка не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
$2x + 10 = 0 \implies x = -5$. Эта точка также не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

4. Единственная критическая точка внутри отрезка — это $x=0$. Вычисляем значения функции в этой точке и на концах отрезка $x = -1$ и $x = 2$:
$f(-1) = (-1)^2 - 10|-1| + 21 = 1 - 10(1) + 21 = 12$.
$f(0) = 0^2 - 10|0| + 21 = 21$.
$f(2) = 2^2 - 10|2| + 21 = 4 - 20 + 21 = 5$.

5. Сравниваем полученные значения: $12$, $21$ и $5$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно $21$.
Наименьшее значение функции на отрезке равно $5$.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб.} = f(0) = 21$, наименьшее значение $f_{наим.} = f(2) = 5$.

2.

Пусть полукруг радиуса $R = 4\sqrt{5}$ см расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$) с центром в начале координат. Уравнение полуокружности: $y = \sqrt{R^2 - x^2}$. Пусть одна сторона вписанного прямоугольника лежит на оси Ox, а две его вершины — на дуге полукруга. Если половину длины основания прямоугольника обозначить через $x$, то его высота будет равна $y = \sqrt{R^2 - x^2}$. Стороны прямоугольника будут $2x$ и $y$. В нашем случае $R^2 = (4\sqrt{5})^2 = 80$.

Периметр прямоугольника $P$ как функция от $x$:
$P(x) = 2(2x + y) = 4x + 2\sqrt{80 - x^2}$.
Требуется найти наибольшее значение этой функции на отрезке $[0; 4\sqrt{5}]$.

1. Найдем производную функции периметра:
$P'(x) = (4x + 2\sqrt{80 - x^2})' = 4 + 2 \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{80 - x^2}} = 4 - \frac{2x}{\sqrt{80 - x^2}}$.

2. Найдем критические точки из условия $P'(x) = 0$:
$4 - \frac{2x}{\sqrt{80 - x^2}} = 0 \implies 4\sqrt{80 - x^2} = 2x \implies 2\sqrt{80 - x^2} = x$.
Возведем обе части в квадрат (при $x>0$):
$4(80 - x^2) = x^2 \implies 320 - 4x^2 = x^2 \implies 5x^2 = 320 \implies x^2 = 64 \implies x = 8$.
Точка $x = 8$ принадлежит отрезку $[0; 4\sqrt{5}]$, так как $4\sqrt{5} = \sqrt{80}$ и $8 = \sqrt{64}$.

3. Вычислим значения периметра в критической точке $x=8$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=4\sqrt{5}$:
$P(0) = 4(0) + 2\sqrt{80 - 0} = 2\sqrt{80} = 8\sqrt{5}$.
$P(4\sqrt{5}) = 4(4\sqrt{5}) + 2\sqrt{80 - (4\sqrt{5})^2} = 16\sqrt{5}$.
$P(8) = 4(8) + 2\sqrt{80 - 8^2} = 32 + 2\sqrt{80 - 64} = 32 + 2\sqrt{16} = 32 + 8 = 40$.

4. Сравнивая значения $8\sqrt{5} \approx 17.9$, $16\sqrt{5} \approx 35.8$ и $40$, заключаем, что наибольший периметр равен $40$ см.

5. Найдем стороны прямоугольника при $x=8$:
Длина: $2x = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Высота: $y = \sqrt{80 - x^2} = \sqrt{80 - 8^2} = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 16 см и 4 см.