Страница 106 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Какие из приведённых утверждений являются верными:

1) ${7} \subset \{1, 7\}$;

2) $1 \subset \{1, 7\}$;

3) ${\emptyset} \subset \{1, 7\}$;

4) $\emptyset \subset \{1, 7\}$?

Для определения верных утверждений необходимо понимать различие между понятиями "элемент множества" (обозначается символом $\in$) и "подмножество" (обозначается символом $\subset$).

Утверждение $A \subset B$ означает, что множество $A$ является подмножеством множества $B$, то есть каждый элемент, принадлежащий множеству $A$, также принадлежит и множеству $B$.

Рассмотрим каждое из предложенных утверждений:

1) $\{7\} \subset \{1, 7\}$

Данное утверждение гласит, что множество, состоящее из одного элемента $7$, является подмножеством множества $\{1, 7\}$. Проверим, выполняется ли определение подмножества. Единственный элемент множества $\{7\}$ — это число $7$. Этот элемент также содержится в множестве $\{1, 7\}$. Так как все элементы первого множества содержатся во втором, утверждение является верным.
Ответ: утверждение верное.

2) $1 \subset \{1, 7\}$

В этом утверждении символ подмножества ($\subset$) используется между числом $1$ и множеством $\{1, 7\}$. Отношение "быть подмножеством" определяется между двумя множествами. Число $1$ является элементом, а не множеством. Для элемента используется символ принадлежности ($\in$). Верным было бы утверждение $1 \in \{1, 7\}$. Поскольку в выражении $1 \subset \{1, 7\}$ нарушено правило применения символа, оно является некорректным и, следовательно, неверным.
Ответ: утверждение неверное.

3) $\{\emptyset\} \subset \{1, 7\}$

Это утверждение говорит, что множество, единственным элементом которого является пустое множество ($\emptyset$), является подмножеством $\{1, 7\}$. Чтобы это было правдой, единственный элемент множества $\{\emptyset\}$, то есть само пустое множество $\emptyset$, должен быть элементом множества $\{1, 7\}$. Однако элементы множества $\{1, 7\}$ — это числа $1$ и $7$. Пустое множество не является одним из них ($\emptyset \notin \{1, 7\}$). Следовательно, утверждение неверное.
Ответ: утверждение неверное.

4) $\emptyset \subset \{1, 7\}$

Это утверждение гласит, что пустое множество ($\emptyset$) является подмножеством множества $\{1, 7\}$. По определению в теории множеств, пустое множество является подмножеством любого множества. Это следует из того, что в пустом множестве нет элементов, которые бы не принадлежали другому множеству (условие выполняется тривиально). Таким образом, это утверждение является верным.
Ответ: утверждение верное.

2. Какие из приведённых утверждений являются верными:

1) $\{7, 9\} \cap \{9\} = \{9\}$;

2) $\{7, 9\} \cap \{9\} = \{7, 9\}$;

3) $\{7, 9\} \cap \emptyset = \{7, 9\}$;

4) $\{7, 9\} \cup \emptyset = \{7, 9\}$;

5) $\{7, 9\} \cup \{9\} = \{7, 9\}$;

6) $\{7, 9\} \setminus \{7\} = \{9\}$.

Проанализируем каждое утверждение по отдельности, чтобы определить, является ли оно верным.

1) $\{7, 9\} \cap \{9\} = \{9\}$
Операция пересечения множеств ($ \cap $) находит общие элементы для обоих множеств. В множествах $\{7, 9\}$ и $\{9\}$ общим элементом является только число 9. Следовательно, результат пересечения — это множество $\{9\}$. Утверждение верно.
Ответ: верно.

2) $\{7, 9\} \cap \{9\} = \{7, 9\}$
Как установлено в предыдущем пункте, пересечением множеств $\{7, 9\}$ и $\{9\}$ является $\{9\}$. Утверждение, что результат равен $\{7, 9\}$, неверно, так как элемент 7 не принадлежит второму множеству $\{9\}$.
Ответ: неверно.

3) $\{7, 9\} \cap \emptyset = \{7, 9\}$
Пересечение любого множества с пустым множеством ($\emptyset$) всегда даёт пустое множество, так как у них нет общих элементов. Таким образом, $\{7, 9\} \cap \emptyset = \emptyset$. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

4) $\{7, 9\} \cup \emptyset = \{7, 9\}$
Операция объединения множеств ($ \cup $) создаёт новое множество, содержащее все элементы из исходных множеств. Объединение любого множества с пустым множеством равно исходному множеству. Следовательно, $\{7, 9\} \cup \emptyset = \{7, 9\}$. Утверждение верно.
Ответ: верно.

5) $\{7, 9\} \cup \{9\} = \{7, 9\}$
Объединение множеств $\{7, 9\}$ и $\{9\}$ включает все уникальные элементы из обоих множеств. Это элементы 7 и 9. В результате получаем множество $\{7, 9\}$ (элементы в множестве не повторяются). Утверждение верно.
Ответ: верно.

6) $\{7, 9\} \setminus \{7\} = \{9\}$
Операция разности множеств ($ \setminus $) удаляет из первого множества все элементы, которые присутствуют во втором множестве. Из множества $\{7, 9\}$ мы удаляем элемент 7, который есть в множестве $\{7\}$. В результате остаётся множество $\{9\}$. Утверждение верно.
Ответ: верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1, 4, 5 и 6.

3. Пусть $f$ — функция истинности, $A$ и $B$ — некоторые высказывания. Известно, что $f(A) = 0$ и $f(\bar{A} \wedge \bar{B}) = 0$. Найдите $f(B)$.

Пусть $f$ — функция истинности. Это означает, что значение $f(X)$ для любого высказывания $X$ зависит только от истинностного значения самого высказывания $X$ (истинно оно или ложно). Обозначим истинностное значение высказывания $X$ как $[X]$, где $[X]=1$, если $X$ истинно, и $[X]=0$, если $X$ ложно. Таким образом, если $[X] = [Y]$, то $f(X) = f(Y)$.

По условию задачи нам даны два утверждения: $f(A) = 0$ и $f(\overline{A \land \overline{B}}) = 0$. Наша цель — найти значение $f(B)$.

Сначала упростим логическое выражение во втором условии, используя законы де Моргана:

$\overline{A \land \overline{B}} \equiv \overline{A} \lor \overline{\overline{B}} \equiv \overline{A} \lor B$.

Таким образом, второе условие можно переписать в виде $f(\overline{A} \lor B) = 0$.

Теперь у нас есть система условий: $f(A) = 0$ и $f(\overline{A} \lor B) = 0$.

Рассмотрим все возможные истинностные значения для высказывания $A$.

Случай 1: Высказывание A истинно

Если $A$ истинно, то его истинностное значение $[A]=1$. Из первого условия $f(A) = 0$ следует, что для любого истинного высказывания $T$ значение функции $f(T)$ равно 0. То есть, $f(X)=0$ при $[X]=1$.

Теперь рассмотрим истинностное значение выражения $\overline{A} \lor B$. Так как $A$ истинно, то $\overline{A}$ ложно. Тогда $[\overline{A} \lor B] = [\text{Ложь} \lor B] = [B]$.

Следовательно, второе условие $f(\overline{A} \lor B) = 0$ превращается в $f(B) = 0$.

Таким образом, если $A$ истинно, то $f(B)=0$.

Случай 2: Высказывание A ложно

Если $A$ ложно, то его истинностное значение $[A]=0$. Из первого условия $f(A) = 0$ следует, что для любого ложного высказывания $F$ значение функции $f(F)$ равно 0. То есть, $f(X)=0$ при $[X]=0$.

Рассмотрим истинностное значение выражения $\overline{A} \lor B$. Так как $A$ ложно, то $\overline{A}$ истинно. Тогда $[\overline{A} \lor B] = [\text{Истина} \lor B] = 1$ (Истина).

Второе условие $f(\overline{A} \lor B) = 0$ означает, что $f(\text{Истинное высказывание}) = 0$. То есть, $f(X)=0$ при $[X]=1$.

В этом случае мы получили, что функция $f$ равна 0 как для ложных высказываний (из $f(A)=0$), так и для истинных высказываний (из $f(\overline{A} \lor B)=0$). Это означает, что $f$ является константной функцией, всегда возвращающей 0, независимо от истинности ее аргумента: $f(X) = 0$ для любого высказывания $X$.

Следовательно, в этом случае значение $f(B)$ также будет равно 0.

Поскольку в обоих возможных случаях для высказывания $A$ (истинно оно или ложно) мы приходим к выводу, что $f(B)=0$, это и является решением задачи.

Ответ: 0

4. Вместо * поставьте один из кванторов $\forall$ или $\exists$, чтобы образовалось истинное высказывание:

1) ($*x \in \mathbf{R})(|x|(x^4 + 3) > 0$);

2) ($*n \in \mathbf{N})(6^n - 1$ кратно 5).

1) Рассматривается высказывание $(*x \in \mathbb{R})(|x|(x^4 + 3) > 0)$.

Чтобы определить, какой квантор следует поставить, проанализируем выражение $|x|(x^4 + 3) > 0$ для произвольного действительного числа $x$.

Рассмотрим каждый множитель в левой части неравенства:

• Выражение $x^4$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, то есть $x^4 \ge 0$. Следовательно, $x^4 + 3 \ge 3$. Таким образом, множитель $(x^4 + 3)$ всегда является строго положительным числом.
• Выражение $|x|$ (модуль $x$) по определению всегда неотрицательно, то есть $|x| \ge 0$.

Произведение неотрицательного числа $|x|$ и строго положительного числа $(x^4 + 3)$ будет строго больше нуля ($>0$) тогда и только тогда, когда $|x| > 0$.

Условие $|x| > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, за исключением единственного значения $x = 0$.

Если $x = 0$, то левая часть неравенства обращается в ноль: $|0|(0^4 + 3) = 0 \cdot 3 = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным.

Поскольку существует значение $x \in \mathbb{R}$ (а именно $x=0$), для которого данное утверждение ложно, мы не можем использовать квантор всеобщности $\forall$ ("для всех").

Однако утверждение истинно для любого $x \neq 0$. Например, для $x=1$ получаем $|1|(1^4 + 3) = 4$, и $4>0$ — истина. Так как существует хотя бы одно значение $x$, для которого утверждение верно, следует использовать квантор существования $\exists$ ("существует").

Ответ: $\exists$

2) Рассматривается высказывание $(*n \in \mathbb{N})(6^n - 1 \text{ кратно } 5)$.

Здесь $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Требуется определить, для всех ли натуральных $n$ или только для некоторых из них выражение $6^n - 1$ делится на 5 без остатка.

Проверим утверждение для нескольких первых значений $n$:

• При $n=1$: $6^1 - 1 = 5$. $5$ кратно $5$.
• При $n=2$: $6^2 - 1 = 36 - 1 = 35$. $35$ кратно $5$.
• При $n=3$: $6^3 - 1 = 216 - 1 = 215$. $215$ кратно $5$.

Это наводит на мысль, что утверждение может быть верным для всех натуральных $n$. Докажем это.

Способ 1: Анализ последней цифры.

Любая натуральная степень числа 6 оканчивается на цифру 6: $6^1=6$, $6^2=36$, $6^3=216$ и т.д. Это связано с тем, что $6 \cdot 6 = 36$, и последняя цифра произведения определяется последними цифрами множителей. Таким образом, число $6^n$ всегда оканчивается на 6. Тогда число $6^n - 1$ будет всегда оканчиваться на $6-1=5$. Любое целое число, оканчивающееся на 5, кратно 5. Следовательно, $6^n-1$ кратно 5 для любого $n \in \mathbb{N}$.

Способ 2: Использование сравнений по модулю.

Утверждение "$6^n - 1$ кратно 5" эквивалентно сравнению $6^n - 1 \equiv 0 \pmod{5}$.

Рассмотрим число 6 по модулю 5: $6 = 1 \cdot 5 + 1$, значит, $6 \equiv 1 \pmod{5}$.

По свойству сравнений, если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого натурального $n$. Применив это свойство, получаем:

$6^n \equiv 1^n \pmod{5}$

Так как $1^n = 1$ для любого $n$, имеем $6^n \equiv 1 \pmod{5}$. Вычитая 1 из обеих частей сравнения, получаем:

$6^n - 1 \equiv 1 - 1 \pmod{5}$, то есть $6^n - 1 \equiv 0 \pmod{5}$.

Это доказывает, что $6^n - 1$ делится на 5 для любого натурального $n$.

Поскольку утверждение истинно для всех без исключения натуральных чисел $n$, следует использовать квантор всеобщности $\forall$.

Ответ: $\forall$

5. На фирме работает 29 человек. Из них 15 человек знают немецкий язык, 21 — английский и 8 человек знают оба языка. Сколько работников фирмы не знают ни одного из этих языков?

Для решения этой задачи необходимо найти общее количество сотрудников, знающих хотя бы один из языков, а затем вычесть это число из общего числа сотрудников на фирме.

Пусть:

• $N$ — общее число сотрудников на фирме, $N = 29$.
• $N_G$ — число сотрудников, знающих немецкий язык, $N_G = 15$.
• $N_E$ — число сотрудников, знающих английский язык, $N_E = 21$.
• $N_{G \cap E}$ — число сотрудников, знающих оба языка (и немецкий, и английский), $N_{G \cap E} = 8$.

1. Сначала найдем количество сотрудников, которые знают хотя бы один из этих языков. Для этого воспользуемся формулой включений-исключений для двух множеств. Количество людей, знающих хотя бы один язык ($N_{G \cup E}$), вычисляется как сумма знающих каждый язык по отдельности минус количество знающих оба языка (так как мы посчитали их дважды):

$N_{G \cup E} = N_G + N_E - N_{G \cap E}$

Подставим данные из условия:

$N_{G \cup E} = 15 + 21 - 8 = 36 - 8 = 28$

Таким образом, 28 сотрудников фирмы знают по крайней мере один из двух языков.

2. Теперь, чтобы найти количество сотрудников, которые не знают ни одного из этих языков, нужно из общего числа сотрудников вычесть количество тех, кто знает хотя бы один язык:

$N_{none} = N - N_{G \cup E}$

$N_{none} = 29 - 28 = 1$

Получается, что только один сотрудник не знает ни немецкого, ни английского языка.

Ответ: 1

6. Докажите, что множество чисел вида $\frac{1}{2n}$, где $n \in N$, счётно.

По определению, множество является счётным, если его элементы можно поставить во взаимно однозначное соответствие (то есть установить биекцию) с множеством натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \dots\}$.

Обозначим данное в задаче множество как $A$. Таким образом, $A = \{ \frac{1}{2n} \mid n \in N \}$.

Чтобы доказать счётность множества $A$, построим функцию $f$, которая отображает множество натуральных чисел $N$ на множество $A$, и докажем, что это отображение является биекцией.

Рассмотрим функцию $f: N \rightarrow A$, заданную правилом $f(n) = \frac{1}{2n}$.

Для того чтобы эта функция была биекцией, она должна быть инъективной и сюръективной.

1. Докажем инъективность.
Функция является инъективной, если разным элементам из области определения соответствуют разные элементы из области значений. То есть, если $f(n_1) = f(n_2)$, то должно выполняться $n_1 = n_2$.
Пусть $f(n_1) = f(n_2)$ для некоторых $n_1, n_2 \in N$.
Тогда по определению функции: $$ \frac{1}{2n_1} = \frac{1}{2n_2} $$ Из этого равенства следует, что $2n_1 = 2n_2$. Разделив обе части на 2, получим $n_1 = n_2$. Таким образом, функция $f$ инъективна.

2. Докажем сюръективность.
Функция является сюръективной, если для любого элемента $y$ из области значений ($y \in A$) существует такой элемент $x$ из области определения ($x \in N$), что $f(x) = y$.
Возьмем произвольный элемент $a$ из множества $A$. По определению множества $A$, этот элемент имеет вид $a = \frac{1}{2k}$ для некоторого натурального числа $k \in N$.
Нам нужно найти такое натуральное число $n$, чтобы $f(n) = a$. $$ f(n) = \frac{1}{2k} $$ $$ \frac{1}{2n} = \frac{1}{2k} $$ Отсюда следует, что $n = k$. Поскольку $k$ — натуральное число, то и $n$ — натуральное число. Таким образом, для любого элемента $a \in A$ мы нашли прообраз $n \in N$. Значит, функция $f$ сюръективна.

Поскольку функция $f(n) = \frac{1}{2n}$ является одновременно инъективной и сюръективной, она является биекцией. Существование биекции между множеством $A$ и множеством натуральных чисел $N$ доказывает, что множество $A$ счётно.

Ответ: Множество чисел вида $\frac{1}{2n}$, где $n \in N$, является счётным, так как установлена биекция $f(n) = \frac{1}{2n}$ между этим множеством и множеством натуральных чисел $N$.

7. Множество A содержит 25 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с чётным количеством элементов или с нечётным количеством элементов?

Пусть дано множество $A$, которое содержит $n = 25$ элементов. Необходимо определить, каких подмножеств у этого множества больше: тех, что содержат чётное число элементов, или тех, что содержат нечётное число элементов.

Для решения этой задачи можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Использование бинома Ньютона

Количество подмножеств множества из $n$ элементов, содержащих ровно $k$ элементов, равно биномиальному коэффициенту $C_n^k = \binom{n}{k}$.

Пусть $N_{чётн}$ — это общее количество подмножеств с чётным числом элементов, а $N_{нечётн}$ — с нечётным.

Тогда для $n=25$:

$N_{чётн} = \binom{25}{0} + \binom{25}{2} + \binom{25}{4} + \dots + \binom{25}{24}$

$N_{нечётн} = \binom{25}{1} + \binom{25}{3} + \binom{25}{5} + \dots + \binom{25}{25}$

Рассмотрим формулу бинома Ньютона для $(1-x)^n$:

$(1-x)^n = \binom{n}{0} - \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 - \binom{n}{3}x^3 + \dots + (-1)^n\binom{n}{n}x^n$

Подставим $n=25$ и $x=1$:

$(1-1)^{25} = \binom{25}{0} - \binom{25}{1} \cdot 1 + \binom{25}{2} \cdot 1^2 - \binom{25}{3} \cdot 1^3 + \dots - \binom{25}{25} \cdot 1^{25}$

Так как $(1-1)^{25} = 0^{25} = 0$, получаем:

$0 = \binom{25}{0} - \binom{25}{1} + \binom{25}{2} - \binom{25}{3} + \dots - \binom{25}{25}$

Сгруппируем слагаемые с положительными и отрицательными знаками:

$0 = (\binom{25}{0} + \binom{25}{2} + \dots + \binom{25}{24}) - (\binom{25}{1} + \binom{25}{3} + \dots + \binom{25}{25})$

Это равенство можно переписать в виде:

$0 = N_{чётн} - N_{нечётн}$

Отсюда следует, что $N_{чётн} = N_{нечётн}$.

Способ 2: Комбинаторное доказательство

Выберем в множестве $A$ один произвольный элемент и обозначим его как $a$. Теперь мы можем установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между подмножествами с чётным и нечётным числом элементов.

Определим правило, по которому каждому подмножеству $S$ множества $A$ сопоставляется другое подмножество $S'$:

• Если элемент $a$ принадлежит подмножеству $S$, то $S' = S \setminus \{a\}$ (то есть, мы удаляем элемент $a$ из $S$).
• Если элемент $a$ не принадлежит подмножеству $S$, то $S' = S \cup \{a\}$ (то есть, мы добавляем элемент $a$ в $S$).

Это преобразование меняет количество элементов в подмножестве ровно на 1. Следовательно:

• Если в $S$ было чётное число элементов, то в $S'$ станет нечётное число элементов.
• Если в $S$ было нечётное число элементов, то в $S'$ станет чётное число элементов.

Таким образом, мы каждому подмножеству с чётным числом элементов сопоставили единственное подмножество с нечётным числом элементов, и наоборот. Если применить это правило дважды, мы всегда вернёмся к исходному подмножеству. Это означает, что мы построили биекцию между совокупностью "чётных" подмножеств и совокупностью "нечётных" подмножеств.

Наличие биекции между двумя конечными множествами означает, что они содержат одинаковое количество элементов.

Заключение

Оба способа доказывают, что количество подмножеств с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов. Общее число подмножеств для множества из 25 элементов равно $2^{25}$. Следовательно, число "чётных" и "нечётных" подмножеств равно $2^{25} / 2 = 2^{24}$.

Ответ: Количество подмножеств с чётным количеством элементов и с нечётным количеством элементов одинаково.