Номер 1, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Какие из приведённых утверждений являются верными:

1) ${7} \subset \{1, 7\}$;

2) $1 \subset \{1, 7\}$;

3) ${\emptyset} \subset \{1, 7\}$;

4) $\emptyset \subset \{1, 7\}$?

Для определения верных утверждений необходимо понимать различие между понятиями "элемент множества" (обозначается символом $\in$) и "подмножество" (обозначается символом $\subset$).

Утверждение $A \subset B$ означает, что множество $A$ является подмножеством множества $B$, то есть каждый элемент, принадлежащий множеству $A$, также принадлежит и множеству $B$.

Рассмотрим каждое из предложенных утверждений:

1) $\{7\} \subset \{1, 7\}$

Данное утверждение гласит, что множество, состоящее из одного элемента $7$, является подмножеством множества $\{1, 7\}$. Проверим, выполняется ли определение подмножества. Единственный элемент множества $\{7\}$ — это число $7$. Этот элемент также содержится в множестве $\{1, 7\}$. Так как все элементы первого множества содержатся во втором, утверждение является верным.
Ответ: утверждение верное.

2) $1 \subset \{1, 7\}$

В этом утверждении символ подмножества ($\subset$) используется между числом $1$ и множеством $\{1, 7\}$. Отношение "быть подмножеством" определяется между двумя множествами. Число $1$ является элементом, а не множеством. Для элемента используется символ принадлежности ($\in$). Верным было бы утверждение $1 \in \{1, 7\}$. Поскольку в выражении $1 \subset \{1, 7\}$ нарушено правило применения символа, оно является некорректным и, следовательно, неверным.
Ответ: утверждение неверное.

3) $\{\emptyset\} \subset \{1, 7\}$

Это утверждение говорит, что множество, единственным элементом которого является пустое множество ($\emptyset$), является подмножеством $\{1, 7\}$. Чтобы это было правдой, единственный элемент множества $\{\emptyset\}$, то есть само пустое множество $\emptyset$, должен быть элементом множества $\{1, 7\}$. Однако элементы множества $\{1, 7\}$ — это числа $1$ и $7$. Пустое множество не является одним из них ($\emptyset \notin \{1, 7\}$). Следовательно, утверждение неверное.
Ответ: утверждение неверное.

4) $\emptyset \subset \{1, 7\}$

Это утверждение гласит, что пустое множество ($\emptyset$) является подмножеством множества $\{1, 7\}$. По определению в теории множеств, пустое множество является подмножеством любого множества. Это следует из того, что в пустом множестве нет элементов, которые бы не принадлежали другому множеству (условие выполняется тривиально). Таким образом, это утверждение является верным.
Ответ: утверждение верное.