Номер 45, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 45

Вторая производная.

Понятие выпуклости функции

1. Найдите вторую производную функции:

1) $y = (2x - 1)^6$;

2) $y = (x + 4)^2 \cos x$.

2. Тело массой 5 кг движется по координатной прямой по закону $s(t) = t^3 - 8t + 7$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите силу $F(t) = ma(t)$, действующую на тело через 2 с после начала движения.

3. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = x^2 + \sqrt{x - 2}$;

2) $y = x^5 - 5x^4 + 18x - 9$.

1. Найдите вторую производную функции:

1) Для функции $y = (2x - 1)^6$ найдем первую производную, используя правило производной сложной функции:

$y' = 6(2x - 1)^5 \cdot (2x-1)' = 6(2x - 1)^5 \cdot 2 = 12(2x - 1)^5$.

Теперь найдем вторую производную, дифференцируя первую:

$y'' = (12(2x - 1)^5)' = 12 \cdot 5(2x - 1)^4 \cdot (2x-1)' = 60(2x - 1)^4 \cdot 2 = 120(2x - 1)^4$.

Ответ: $y'' = 120(2x - 1)^4$.

2) Для функции $y = (x + 4)^2 \cos x$ найдем первую производную, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = ((x + 4)^2)' \cos x + (x + 4)^2 (\cos x)' = 2(x+4) \cos x - (x+4)^2 \sin x$.

Найдем вторую производную, снова применяя правило производной произведения для каждого слагаемого:

$y'' = (2(x+4) \cos x)' - ((x+4)^2 \sin x)'$

$y'' = (2\cos x - 2(x+4)\sin x) - (2(x+4)\sin x + (x+4)^2 \cos x)$

$y'' = 2\cos x - 2(x+4)\sin x - 2(x+4)\sin x - (x+4)^2 \cos x$

$y'' = (2 - (x+4)^2)\cos x - 4(x+4)\sin x$.

Упростим выражение:

$y'' = (2 - (x^2+8x+16))\cos x - (4x+16)\sin x = (-x^2 - 8x - 14)\cos x - (4x + 16)\sin x$.

Ответ: $y'' = -(x^2 + 8x + 14)\cos x - (4x + 16)\sin x$.

2. Тело массой 5 кг...

Дано: масса тела $m = 5$ кг, закон движения $s(t) = t^3 - 8t + 7$. Нужно найти силу $F(t) = ma(t)$ при $t=2$ с.

Скорость тела является первой производной от перемещения по времени:

$v(t) = s'(t) = (t^3 - 8t + 7)' = 3t^2 - 8$.

Ускорение тела является второй производной от перемещения по времени (или первой производной от скорости):

$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 8)' = 6t$.

Найдем ускорение в момент времени $t = 2$ с:

$a(2) = 6 \cdot 2 = 12$ м/с$^2$.

Теперь найдем силу, действующую на тело, по второму закону Ньютона $F = ma$:

$F(2) = m \cdot a(2) = 5 \text{ кг} \cdot 12 \text{ м/с}^2 = 60$ Н.

Ответ: 60 Н.

3. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = x^2 + \sqrt{x - 2}$.

Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. $D(y) = [2, +\infty)$.

Найдем первую производную:

$y' = (x^2 + (x-2)^{1/2})' = 2x + \frac{1}{2}(x-2)^{-1/2} = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = (2x + \frac{1}{2}(x-2)^{-1/2})' = 2 - \frac{1}{4}(x-2)^{-3/2} = 2 - \frac{1}{4\sqrt{(x-2)^3}}$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю. $y''$ определена при $x>2$.

$y'' = 0 \Rightarrow 2 - \frac{1}{4\sqrt{(x-2)^3}} = 0 \Rightarrow 2 = \frac{1}{4\sqrt{(x-2)^3}}$.

$8\sqrt{(x-2)^3} = 1 \Rightarrow \sqrt{(x-2)^3} = \frac{1}{8} \Rightarrow (x-2)^3 = \frac{1}{64}$.

$x-2 = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 2 + \frac{1}{4} = 2.25$.

Исследуем знак $y''$ на интервалах $(2; 2.25)$ и $(2.25; +\infty)$.

Если $x \in (2; 2.25)$, то $y'' < 0$, функция выпукла вверх.

Если $x \in (2.25; +\infty)$, то $y'' > 0$, функция выпукла вниз.

Поскольку в точке $x = 2.25$ меняется знак второй производной, это точка перегиба. Найдем её ординату:

$y(2.25) = (2.25)^2 + \sqrt{2.25-2} = (\frac{9}{4})^2 + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{81}{16} + \frac{1}{2} = \frac{89}{16}$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(2; 2.25)$, выпукла вниз на промежутке $(2.25; +\infty)$; точка перегиба: $(2.25; \frac{89}{16})$.

2) $y = x^5 - 5x^4 + 18x - 9$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем первую и вторую производные:

$y' = 5x^4 - 20x^3 + 18$.

$y'' = 20x^3 - 60x^2 = 20x^2(x-3)$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $y'' = 0$ при $20x^2(x-3) = 0$, то есть при $x=0$ и $x=3$.

Исследуем знак $y''$ на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую прямую: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

На интервале $(-\infty; 0)$: $y'' < 0$, функция выпукла вверх.

На интервале $(0; 3)$: $y'' < 0$, функция выпукла вверх.

На интервале $(3; +\infty)$: $y'' > 0$, функция выпукла вниз.

В точке $x=0$ знак второй производной не меняется, поэтому она не является точкой перегиба. В точке $x=3$ знак $y''$ меняется с минуса на плюс, следовательно, это точка перегиба. Найдем ординату точки перегиба:

$y(3) = 3^5 - 5(3)^4 + 18(3) - 9 = 243 - 5(81) + 54 - 9 = 243 - 405 + 45 = -117$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty; 3)$, выпукла вниз на промежутке $(3; +\infty)$; точка перегиба: $(3; -117)$.