Номер 40, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 40

Правила вычисления производных

1. Найдите производную функции:

1) $y = 5x^{10} + 4x^8 - 2x^3 + 7$;

2) $y = \cos x - \operatorname{tg} x$;

3) $y = \sqrt{x}(5x - 1)$;

4) $y = \frac{x+4}{\sqrt{x}}$;

5) $y = \sqrt[3]{3x^3 + 2x}$;

6) $y = x^3 \cos \frac{3}{x}$.

2. Найдите производную функции $f(x) = |x^2 - 6x|$ в точках $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

1) $y = 5x^{10} + 4x^8 - 2x^3 + 7$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная константы равна нулю.

$y' = (5x^{10} + 4x^8 - 2x^3 + 7)' = (5x^{10})' + (4x^8)' - (2x^3)' + (7)'$

$y' = 5 \cdot 10x^{9} + 4 \cdot 8x^{7} - 2 \cdot 3x^{2} + 0$

$y' = 50x^9 + 32x^7 - 6x^2$

Ответ: $50x^9 + 32x^7 - 6x^2$.

2) $y = \cos x - \operatorname{tg} x$

Используем правило дифференцирования разности и производные тригонометрических функций: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

$y' = (\cos x - \operatorname{tg} x)' = (\cos x)' - (\operatorname{tg} x)'$

$y' = -\sin x - \frac{1}{\cos^2 x}$

Ответ: $-\sin x - \frac{1}{\cos^2 x}$.

3) $y = \sqrt{x}(5x - 1)$

Сначала преобразуем функцию, раскрыв скобки, представив $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:

$y = x^{1/2}(5x - 1) = 5x^{1} \cdot x^{1/2} - x^{1/2} = 5x^{3/2} - x^{1/2}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции:

$y' = (5x^{3/2} - x^{1/2})' = 5 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{15}{2}x^{1/2} - \frac{1}{2}x^{-1/2}$

Упростим выражение, приведя к общему знаменателю:

$y' = \frac{15\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{15\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}} = \frac{15x - 1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{15x - 1}{2\sqrt{x}}$.

4) $y = \frac{x+4}{\sqrt{x}}$

Сначала преобразуем функцию, разделив числитель на знаменатель:

$y = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{4}{\sqrt{x}} = x^{1-\frac{1}{2}} + 4x^{-1/2} = x^{1/2} + 4x^{-1/2}$

Теперь дифференцируем как сумму степенных функций:

$y' = (x^{1/2} + 4x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 4 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 2x^{-3/2}$

Упростим выражение:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x\sqrt{x}} = \frac{x}{2x\sqrt{x}} - \frac{4}{2x\sqrt{x}} = \frac{x - 4}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{x-4}{2x\sqrt{x}}$.

5) $y = \sqrt[3]{3x^3 + 2x}$

Это сложная функция. Представим ее в виде $y = u^{1/3}$, где $u = 3x^3 + 2x$.

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $y' = (u^{1/3})'_u \cdot u'_x$.

$(u^{1/3})'_u = \frac{1}{3}u^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{u^2}}$

$u'_x = (3x^3 + 2x)' = 9x^2 + 2$

Подставляем обратно:

$y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{(3x^3+2x)^2}} \cdot (9x^2 + 2) = \frac{9x^2+2}{3\sqrt[3]{(3x^3+2x)^2}}$

Ответ: $\frac{9x^2+2}{3\sqrt[3]{(3x^3+2x)^2}}$.

6) $y = x^3 \cos\frac{3}{x}$

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепное правило.

Пусть $u = x^3$ и $v = \cos\frac{3}{x}$.

$u' = (x^3)' = 3x^2$.

Для нахождения $v'$ используем цепное правило: $v' = (\cos\frac{3}{x})' = -\sin(\frac{3}{x}) \cdot (\frac{3}{x})' = -\sin(\frac{3}{x}) \cdot (-3x^{-2}) = \frac{3}{x^2}\sin(\frac{3}{x})$.

Теперь подставляем в формулу производной произведения:

$y' = (3x^2) \cdot \cos(\frac{3}{x}) + (x^3) \cdot (\frac{3}{x^2}\sin(\frac{3}{x}))$

$y' = 3x^2 \cos(\frac{3}{x}) + 3x \sin(\frac{3}{x})$

Можно вынести общий множитель $3x$ за скобки:

$y' = 3x(x \cos(\frac{3}{x}) + \sin(\frac{3}{x}))$

Ответ: $3x^2 \cos(\frac{3}{x}) + 3x \sin(\frac{3}{x})$.

2.

Для нахождения производной функции $f(x) = |x^2 - 6x|$ в точках $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$, сначала раскроем модуль.

Выражение под модулем $x^2 - 6x = x(x-6)$ равно нулю при $x=0$ и $x=6$. Оно неотрицательно при $x \in (-\infty, 0] \cup [6, \infty)$ и отрицательно при $x \in (0, 6)$.

Таким образом, функцию можно записать в виде:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x, & \text{если } x \in (-\infty, 0] \cup [6, \infty) \\ -(x^2 - 6x) = 6x - x^2, & \text{если } x \in (0, 6) \end{cases}$

Теперь найдем производную для каждого интервала, на которых она существует:

$f'(x) = \begin{cases} 2x - 6, & \text{если } x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty) \\ 6 - 2x, & \text{если } x \in (0, 6) \end{cases}$

Найдем значение производной в точке $x_1 = -1$. Эта точка принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$, поэтому используем формулу $f'(x) = 2x - 6$.

$f'(-1) = 2(-1) - 6 = -2 - 6 = -8$.

Найдем значение производной в точке $x_2 = 4$. Эта точка принадлежит интервалу $(0, 6)$, поэтому используем формулу $f'(x) = 6 - 2x$.

$f'(4) = 6 - 2(4) = 6 - 8 = -2$.

Ответ: в точке $x_1 = -1$ производная равна -8; в точке $x_2 = 4$ производная равна -2.