Номер 34, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 34

Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Применение ограниченности тригонометрических функций

Решите уравнение:

1) $ \cos 10x + \cos 4x = \sqrt{3} \cos 7x $

2) $ \sin x \cos 5x = \sin 6x $

3) $ \sin^2 3x + \sin^2 7x = 1 $

4) $ \sin 15x = 2 \cos \left( \frac{\pi}{2} - 5x \right) $

5) $ \cos \frac{5x}{4} + \cos 2x = 2 $

1) Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу суммы косинусов: $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \cos10x + \cos4x = 2\cos\frac{10x+4x}{2}\cos\frac{10x-4x}{2} = 2\cos7x\cos3x $.
Подставим это в исходное уравнение:
$ 2\cos7x\cos3x = \sqrt{3}\cos7x $.
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$ 2\cos7x\cos3x - \sqrt{3}\cos7x = 0 $
$ \cos7x(2\cos3x - \sqrt{3}) = 0 $.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
а) $ \cos7x = 0 $
$ 7x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $
$ x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}, n \in Z $.
б) $ 2\cos3x - \sqrt{3} = 0 $
$ \cos3x = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ 3x = \pm\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi k, k \in Z $
$ 3x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z $
$ x = \pm\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}, x = \pm\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, n, k \in Z $.

2) Перенесем все члены в одну сторону: $ \sin6x - \sin x\cos5x = 0 $.
Используем формулу синуса суммы для $ \sin6x = \sin(x+5x) = \sin x\cos5x + \cos x\sin5x $.
Подставим в уравнение:
$ (\sin x\cos5x + \cos x\sin5x) - \sin x\cos5x = 0 $
$ \cos x\sin5x = 0 $.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
а) $ \cos x = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $.
б) $ \sin5x = 0 $
$ 5x = \pi k, k \in Z $
$ x = \frac{\pi k}{5}, k \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = \frac{\pi k}{5}, n, k \in Z $.

3) Используем формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2} $.
$ \frac{1-\cos(6x)}{2} + \frac{1-\cos(14x)}{2} = 1 $.
Умножим обе части на 2:
$ 1 - \cos(6x) + 1 - \cos(14x) = 2 $
$ 2 - (\cos(6x) + \cos(14x)) = 2 $
$ \cos(6x) + \cos(14x) = 0 $.
Применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ 2\cos\frac{14x+6x}{2}\cos\frac{14x-6x}{2} = 0 $
$ 2\cos10x\cos4x = 0 $.
Отсюда либо $ \cos10x = 0 $, либо $ \cos4x = 0 $.
а) $ \cos10x = 0 $
$ 10x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $
$ x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}, n \in Z $.
б) $ \cos4x = 0 $
$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z $
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}, x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, n, k \in Z $.

4) Используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha $.
$ \sin15x = 2\sin5x $.
Применим формулу синуса тройного угла $ \sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $ для $ \sin15x = \sin(3 \cdot 5x) $:
$ 3\sin5x - 4\sin^35x = 2\sin5x $.
Перенесем все в левую часть:
$ \sin5x - 4\sin^35x = 0 $.
Вынесем $ \sin5x $ за скобки:
$ \sin5x(1 - 4\sin^25x) = 0 $.
Получаем два случая:
а) $ \sin5x = 0 $
$ 5x = \pi n, n \in Z $
$ x = \frac{\pi n}{5}, n \in Z $.
б) $ 1 - 4\sin^25x = 0 $
$ \sin^25x = \frac{1}{4} $
$ \sin5x = \pm\frac{1}{2} $.
Это можно записать одной серией решений:
$ 5x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z $
$ x = \pm\frac{\pi}{30} + \frac{\pi k}{5}, k \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{5}, x = \pm\frac{\pi}{30} + \frac{\pi k}{5}, n, k \in Z $.

5) Данное уравнение решается методом оценки. Область значений функции косинус - отрезок $ [-1; 1] $. То есть $ \cos\alpha \le 1 $ для любого $ \alpha $.
В уравнении $ \cos\frac{5x}{4} + \cos2x = 2 $ сумма двух косинусов равна 2. Это возможно только в том случае, когда каждое слагаемое равно своему максимальному значению, то есть 1.
Таким образом, уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} \cos\frac{5x}{4} = 1 \\ \cos2x = 1 \end{cases} $
Решим каждое уравнение системы:
1) $ \cos\frac{5x}{4} = 1 $
$ \frac{5x}{4} = 2\pi n, n \in Z $
$ x = \frac{8\pi n}{5}, n \in Z $.
2) $ \cos2x = 1 $
$ 2x = 2\pi k, k \in Z $
$ x = \pi k, k \in Z $.
Теперь найдем общие решения, приравняв выражения для $ x $:
$ \frac{8\pi n}{5} = \pi k $
$ \frac{8n}{5} = k $.
Так как $ k $ должно быть целым числом, то $ 8n $ должно делиться на 5. Поскольку числа 8 и 5 взаимно просты, $ n $ должно быть кратно 5, то есть $ n = 5m $ для некоторого целого $ m \in Z $.
Подставим $ n=5m $ в первую серию решений:
$ x = \frac{8\pi (5m)}{5} = 8\pi m, m \in Z $.
Эта серия является подмножеством второй серии (при $ k=8m $), поэтому она является решением системы.
Ответ: $ x = 8\pi m, m \in Z $.