Номер 38, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 38

Задачи о мгновенной скорости и касательной к графику функции

1. Для функции $f(x) = 1 - 4x^2$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

2. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 5t^2 + 3$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t_0 = 2$ с.

3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^2 - 3$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1.

Для функции $f(x) = 1 - 4x^2$ и точки $x_0$ найдем приращение функции $\Delta f$ и отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ равно разности значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Вычислим значения функции:

$f(x_0) = 1 - 4x_0^2$

$f(x_0 + \Delta x) = 1 - 4(x_0 + \Delta x)^2 = 1 - 4(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) = 1 - 4x_0^2 - 8x_0\Delta x - 4(\Delta x)^2$

Теперь найдем приращение $\Delta f$:

$\Delta f = (1 - 4x_0^2 - 8x_0\Delta x - 4(\Delta x)^2) - (1 - 4x_0^2) = -8x_0\Delta x - 4(\Delta x)^2$

Далее найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-8x_0\Delta x - 4(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-8x_0 - 4\Delta x)}{\Delta x} = -8x_0 - 4\Delta x$

Предел этого отношения при $\Delta x \to 0$ равен производной функции в точке $x_0$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-8x_0 - 4\Delta x) = -8x_0 - 4 \cdot 0 = -8x_0$

Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -8x_0 - 4\Delta x$; $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = -8x_0$.

2.

Закон движения материальной точки задан функцией $s(t) = 5t^2 + 3$.

Мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t$ является производной от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$. Обозначим скорость как $v(t)$.

$v(t) = s'(t)$

Найдем производную функции $s(t)$:

$s'(t) = (5t^2 + 3)' = 5 \cdot (t^2)' + (3)' = 5 \cdot 2t + 0 = 10t$

Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид $v(t) = 10t$.

Чтобы найти мгновенную скорость в момент времени $t_0 = 2$ с, подставим это значение в найденную функцию скорости:

$v(2) = 10 \cdot 2 = 20$ (м/с)

Ответ: 20 м/с.

3.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

В нашем случае функция $y = x^2 - 3$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $y$:

$y' = (x^2 - 3)' = (x^2)' - (3)' = 2x - 0 = 2x$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, чтобы найти угловой коэффициент $k$:

$k = y'(1) = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: 2.