Номер 42, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 42

Признаки возрастания и убывания функции

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x + \frac{6}{x}$;

2) $f(x) = \sqrt{6x - x^2}$;

3) $f(x) = \cos x + \frac{1}{2}x$.

2. На рисунке 27 изображён график производной функции $f$, дифференцируемой на $R$. Укажите промежутки убывания функции $f$.

Рис. 27

3. Решите уравнение $x^5 + 3x + 1 = \cos 2x$.

4. При каких значениях параметра $a$ функция $f(x) = \frac{1}{3}(a + 1)x^3 - 4x^2 + 3x + 5$ возрастает на $R$?

1.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти её производную и определить знаки производной на области определения функции. Функция возрастает на промежутках, где её производная неотрицательна ($f'(x) \ge 0$), и убывает на промежутках, где её производная неположительна ($f'(x) \le 0$).

1) $f(x) = x + \frac{6}{x}$

1. Область определения функции: $x \ne 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (x + \frac{6}{x})' = 1 - \frac{6}{x^2} = \frac{x^2 - 6}{x^2}$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{x^2 - 6}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}$.
Точка $x=0$, в которой производная не определена, является точкой разрыва функции.

4. Нанесём точки $x = -\sqrt{6}$, $x = \sqrt{6}$ и $x=0$ на числовую прямую и определим знаки производной на получившихся интервалах: $(-\infty; -\sqrt{6})$, $(-\sqrt{6}; 0)$, $(0; \sqrt{6})$, $(\sqrt{6}; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -\sqrt{6})$ (например, $x=-3$), $f'(-3) = 1 - \frac{6}{(-3)^2} = 1 - \frac{6}{9} > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-\sqrt{6}; 0)$ (например, $x=-1$), $f'(-1) = 1 - \frac{6}{(-1)^2} = 1 - 6 < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; \sqrt{6})$ (например, $x=1$), $f'(1) = 1 - \frac{6}{1^2} = 1 - 6 < 0$, функция убывает.
- При $x \in (\sqrt{6}; +\infty)$ (например, $x=3$), $f'(3) = 1 - \frac{6}{3^2} = 1 - \frac{6}{9} > 0$, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{6}]$ и $[\sqrt{6}; +\infty)$ и убывает на промежутках $[-\sqrt{6}; 0)$ и $(0; \sqrt{6}]$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty; -\sqrt{6}]$ и $[\sqrt{6}; +\infty)$, убывает на $[-\sqrt{6}; 0)$ и $(0; \sqrt{6}]$.

2) $f(x) = \sqrt{6x - x^2}$

1. Найдём область определения функции из условия $6x - x^2 \ge 0$. Решая неравенство $x(6-x) \ge 0$, получаем $x \in [0; 6]$. Таким образом, $D(f) = [0; 6]$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (\sqrt{6x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{6x - x^2}} \cdot (6 - 2x) = \frac{3 - x}{\sqrt{6x - x^2}}$.

3. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$. Это происходит, когда числитель равен нулю: $3-x=0 \Rightarrow x=3$. Производная не определена на концах области определения, при $x=0$ и $x=6$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения делится критической точкой: $(0; 3)$ и $(3; 6)$.
- При $x \in (0; 3)$, числитель $3-x > 0$, а знаменатель всегда положителен, значит $f'(x) > 0$, и функция возрастает.
- При $x \in (3; 6)$, числитель $3-x < 0$, а знаменатель положителен, значит $f'(x) < 0$, и функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[0; 3]$ и убывает на промежутке $[3; 6]$.

Ответ: функция возрастает на $[0; 3]$, убывает на $[3; 6]$.

3) $f(x) = \cos x + \frac{1}{2}x$

1. Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (\cos x + \frac{1}{2}x)' = -\sin x + \frac{1}{2}$.

3. Определим промежутки знакопостоянства производной.
Функция возрастает, когда $f'(x) \ge 0$:
$-\sin x + \frac{1}{2} \ge 0 \Rightarrow \sin x \le \frac{1}{2}$.
Решением этого тригонометрического неравенства являются промежутки вида $[-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $f'(x) \le 0$:
$-\sin x + \frac{1}{2} \le 0 \Rightarrow \sin x \ge \frac{1}{2}$.
Решением этого неравенства являются промежутки вида $[\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$, и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

2.

Функция $f$ убывает на тех промежутках, где её производная $f'(x)$ неположительна, то есть $f'(x) \le 0$. Геометрически это соответствует участкам, где график производной $y=f'(x)$ находится на оси абсцисс или ниже неё.

Анализируя график на рисунке 27, видим, что $f'(x) \le 0$ на промежутках, где кривая лежит ниже или касается оси $x$. Это происходит на отрезке от $x_1$ до $x_3$ и на луче от $x_4$ вправо.

Ответ: промежутки убывания функции $f$: $[x_1; x_3]$ и $[x_4; +\infty)$.

3.

Дано уравнение $x^5 + 3x + 1 = \cos 2x$.

Рассмотрим две функции: $f(x) = x^5 + 3x + 1$ и $g(x) = \cos 2x$.

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Найдём её производную:
$f'(x) = (x^5 + 3x + 1)' = 5x^4 + 3$.
Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $5x^4 \ge 0$, и следовательно $f'(x) = 5x^4 + 3 \ge 3 > 0$.
Поскольку производная $f'(x)$ всегда положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Рассмотрим функцию $g(x) = \cos 2x$. Её область значений: $E(g) = [-1; 1]$.

Перепишем уравнение в виде $f(x) - g(x) = 0$ и рассмотрим функцию $h(x) = f(x) - g(x) = x^5 + 3x + 1 - \cos 2x$. Её производная:
$h'(x) = f'(x) - g'(x) = (5x^4 + 3) - (-2\sin 2x) = 5x^4 + 3 + 2\sin 2x$.
Оценим значение $h'(x)$. Мы знаем, что $5x^4 \ge 0$ и $-1 \le \sin 2x \le 1$, откуда $-2 \le 2\sin 2x \le 2$.
Тогда $h'(x) = 5x^4 + 3 + 2\sin 2x \ge 0 + 3 - 2 = 1$.
Так как $h'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $h(x)$ строго возрастает. Это означает, что она может принимать каждое своё значение только один раз, в частности, значение 0. Таким образом, уравнение $h(x)=0$ имеет не более одного корня.

Проверим, является ли $x=0$ корнем уравнения:
$0^5 + 3 \cdot 0 + 1 = 1$
$\cos(2 \cdot 0) = \cos 0 = 1$
Так как $1=1$, то $x=0$ является корнем уравнения.

Поскольку мы доказали, что корень может быть только один, $x=0$ — единственное решение.

Ответ: $x=0$.

4.

Функция $f(x) = \frac{1}{3}(a + 1)x^3 - 4x^2 + 3x + 5$ возрастает на $\mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда её производная $f'(x)$ неотрицательна для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $f'(x) \ge 0$.

Найдём производную:
$f'(x) = (\frac{1}{3}(a + 1)x^3 - 4x^2 + 3x + 5)' = (a+1)x^2 - 8x + 3$.

Необходимо найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $(a+1)x^2 - 8x + 3 \ge 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Выражение слева является квадратным трёхчленом относительно $x$.

1. Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a+1=0 \Rightarrow a = -1$.
Неравенство принимает вид: $0 \cdot x^2 - 8x + 3 \ge 0 \Rightarrow -8x + 3 \ge 0$.
Это неравенство выполняется не для всех $x$ (например, не выполняется для $x=1$). Следовательно, $a = -1$ не подходит.

2. Если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, $a+1 \ne 0$.
Квадратный трёхчлен будет неотрицателен для всех $x$ только в том случае, если его график (парабола) расположен не ниже оси абсцисс. Для этого необходимо и достаточно выполнения двух условий:
а) Коэффициент при $x^2$ должен быть положительным (ветви параболы направлены вверх): $a+1 > 0 \Rightarrow a > -1$.
б) Дискриминант квадратного трёхчлена должен быть неположительным (парабола имеет не более одной общей точки с осью абсцисс): $D \le 0$.
$D = (-8)^2 - 4(a+1)(3) = 64 - 12(a+1) = 64 - 12a - 12 = 52 - 12a$.
Решим неравенство $D \le 0$:
$52 - 12a \le 0$
$52 \le 12a$
$a \ge \frac{52}{12} \Rightarrow a \ge \frac{13}{3}$.

Оба условия ($a > -1$ и $a \ge \frac{13}{3}$) должны выполняться одновременно. Решением системы является $a \ge \frac{13}{3}$.

Ответ: $a \in [\frac{13}{3}; +\infty)$.