Номер 46, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 46

Построение графиков функций

1. Сколько корней имеет уравнение $2x^3 + 3x^2 = a$ в зависимости от значения параметра $a$?

2. Постройте график функции $f(x) = \frac{10x}{x^2 + 25}$.

1.

Количество корней уравнения $2x^3 + 3x^2 = a$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x) = 2x^3 + 3x^2$ с горизонтальной прямой $y = a$. Для определения этого количества исследуем функцию $f(x)$.

1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (2x^3 + 3x^2)' = 6x^2 + 6x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$6x^2 + 6x = 0$
$6x(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

3. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции:
- На интервале $(-\infty; -1)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

4. Найдем значения функции в точках экстремума:
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума. Значение функции: $y_{max} = f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 = -2 + 3 = 1$.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума. Значение функции: $y_{min} = f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 = 0$.

Теперь, зная экстремумы, мы можем определить количество корней уравнения в зависимости от значения параметра $a$:
- Если $a$ находится выше локального максимума ($a > 1$) или ниже локального минимума ($a < 0$), прямая $y=a$ пересекает график функции в одной точке. Уравнение имеет один корень.
- Если $a$ совпадает со значением локального максимума ($a = 1$) или локального минимума ($a = 0$), прямая $y=a$ пересекает график в двух точках. Уравнение имеет два корня.
- Если $a$ находится между локальным максимумом и минимумом ($0 < a < 1$), прямая $y=a$ пересекает график в трех точках. Уравнение имеет три корня.

Ответ:
- при $a < 0$ или $a > 1$ — 1 корень;
- при $a = 0$ или $a = 1$ — 2 корня;
- при $0 < a < 1$ — 3 корня.

2.

Для построения графика функции $f(x) = \frac{10x}{x^2 + 25}$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения.
Знаменатель $x^2 + 25$ всегда положителен ($x^2 + 25 \ge 25$), поэтому он никогда не равен нулю. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
Проверим значение $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{10(-x)}{(-x)^2 + 25} = -\frac{10x}{x^2 + 25} = -f(x)$.
Функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
- При $x=0$, $y = f(0) = \frac{0}{25} = 0$. График пересекает оси в точке $(0, 0)$.
- При $y=0$, $\frac{10x}{x^2 + 25} = 0$, что выполняется только при $10x = 0$, то есть $x=0$. Единственная точка пересечения — начало координат.

4. Асимптоты.
- Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.
- Найдем горизонтальную асимптоту, вычислив предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{10x}{x^2 + 25} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{10/x}{1 + 25/x^2} = \frac{0}{1+0} = 0$.
Прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой графика.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную по правилу дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{(10x)'(x^2 + 25) - 10x(x^2 + 25)'}{(x^2 + 25)^2} = \frac{10(x^2 + 25) - 10x(2x)}{(x^2 + 25)^2} = \frac{10x^2 + 250 - 20x^2}{(x^2 + 25)^2} = \frac{250 - 10x^2}{(x^2 + 25)^2}$.
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $f'(x) = 0 \Rightarrow 250 - 10x^2 = 0 \Rightarrow 10x^2 = 250 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$.
- На интервале $(-\infty; -5)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-5; 5)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(5; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x = -5$ находится локальный минимум. $f(-5) = \frac{10(-5)}{(-5)^2 + 25} = \frac{-50}{50} = -1$.
В точке $x = 5$ находится локальный максимум. $f(5) = \frac{10(5)}{5^2 + 25} = \frac{50}{50} = 1$.

6. Построение графика.
Используя полученную информацию, строим график. Он проходит через начало координат $(0,0)$, симметричен относительно него. При $x \to -\infty$ график приближается к оси OX снизу, достигает точки минимума $(-5, -1)$, затем возрастает, проходит через $(0,0)$, достигает точки максимума $(5, 1)$, после чего убывает, приближаясь к оси OX сверху при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции — кривая, симметричная относительно начала координат. Она имеет горизонтальную асимптоту $y=0$, точку локального минимума $(-5, -1)$ и точку локального максимума $(5, 1)$.